[論文レビュー] Surface defects and instanton partition functions

Davide Gaiotto, Hee‐Cheol Kim|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 56被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、5次元超 conformal場理論および8つの超電荷を有する4次元 ${\cal N}=2$ ゲージ理論における余次元2の半BPS表面的欠陥を伴うインスタントン分配関数を計算する一般化された手続きを開発する。より大きな理論からの規範化群のフローを用いたバーチャル構成を用いて、等置化局在化とゲージ線形モデル（GLSM）技術を組み合わせた計算フレームワークを導出し、欠陥拡張分配関数の正確な結果を得るとともに、明示的な留数計算によって双対性を検証する。

ABSTRACT

We study the superconformal index of five-dimensional SCFTs and the sphere partition function of four-dimensional gauge theories with eight supercharges in the presence of co-dimension two half-BPS defects. We derive a prescription which is valid for defects which can be given a "vortex construction", i.e. can be defined by RG flow from vortex configurations in a larger theory. We test the prescription against known results and expected dualities. We employ our prescription to develop a general computational strategy for defects defined by coupling the bulk degrees of freedom to a Gauged Linear Sigma Model living in co-dimension two.

研究の動機と目的

• 5次元および4次元 ${\cal N}=2$ 理論における余次元2の半BPS表面的欠陥を有するインスタントン分配関数の一般化された計算フレームワークの構築。
• 従来4次元 ${\cal N}=2$ 理論における欠陥に用いられてきたバーチャル構成の適用範囲を、8つの超電荷を有する5次元超 conformal場理論に拡張すること。
• 余次元2における2次元ゲージ線形モデル（GLSM）と結合させることで、欠陥寄与を統一的に扱い、豊か化した分配関数の体系的計算を可能とすること。
• 既知の結果および期待される双対性（AGT類似関係や Seiberg-Witten 曲線構造を含む）を通じて、手続きの整合性を検証すること。

提案手法

• 著者らは、欠陥が理論 $T'$ の位置依存スカラー真空期待値（バーチャルプロファイル）として生じるUV理論 $T'$ からの規範化群フローを用いたバーチャル構成を採用する。
• 等置化局在化を用いて、北極および南極におけるインスタントン寄与と1ループの摂動的寄与を組み合わせることで、インスタントン分配関数を計算する手続きを導出する。
• この手法では、$a_i$, $\phi_I$, $\epsilon_1$, $\epsilon_2$, および $\epsilon_+ = (\epsilon_1 + \epsilon_2)/2$ を含む文字の公式を用いて、インスタントンモジュライ空間上の接バンドルの等置化インデックスを計算する。
• 分配関数は、ヤング図式の配置に対応する極における留数の和として表現され、極は $\phi(m,n) = a_i + \epsilon_+ - m\epsilon_1 - n\epsilon_2$ に位置する。
• 全分配関数は、$k$-インスタントン寄与の和として構成され、各項は $\phi_I$ 変数に関する留数積分として与えられ、JK留数手続きまたは単位円の輪郭を用いる。
• ファンダメンタルハイパーマトリックスに対して、被積分関数に追加の因子 $\prod_{I,a} 2\sinh\left(\frac{\phi_I + m_a}{2}\right)$ を含め、インスタントン寄与を修正する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5次元 ${\cal N}=1$ および4次元 ${\cal N}=2$ 理論における8つの超電荷を有する余次元2の半BPS表面的欠陥を含むインスタントン分配関数をどのように一般化できるか？
• RQ2 UV理論 $T'$ におけるバーチャル構成が、IR理論 $T$ における欠陥分配関数を定義および計算するために使用可能か？
• RQ3 欠陥によって修正されたインスタントンモジュライ空間の正確な数学的構造は何か？ そして、等置化インデックス計算にどのように影響を与えるか？
• RQ4 得られた分配関数は、既知の双対性およびAGT理論やSeiberg-Witten理論からの既存の結果とどのように一致するか？
• RQ5 余次元2におけるGLSM構成を、ボリュームゲージ理論に一貫して結合させることで、計算可能で物理的に意味のある分配関数が得られるか？

主な発見

• 本論文は、$N_f$ 個のファイナリティハイパーマトリックスを有する$U(N)$ゲージ理論の5次元 Nekrasov インスタントン分配関数を、ヤング図式の配置の和として正確に導出する：$Z_{k} = \sum_{\sum k_i = k} Z_{\vec{Y}}(a_i, m_a; \epsilon_1, \epsilon_2)$。
• $k$-インスタントン寄与 $Z_k$ は、$\phi_I$ 変数に関する留数積分として計算され、極は $\phi(m,n) = a_i + \epsilon_+ - m\epsilon_1 - n\epsilon_2$ に位置し、ヤング図式のボックスの位置に対応する。
• 各極における留数は閉形式で与えられる：$Z_{\vec{Y}} = \prod_{i=1}^{N} \prod_{(m,n) \in Y_i} \frac{\prod_a \sinh\left(\frac{\phi(m,n) + m_a}{2}\right)}{\prod_{j} 4 \sinh\left(\frac{E_{ij}(m,n)}{2}\right) \sinh\left(\frac{E_{ij}(m,n) - 2\epsilon_+}{2}\right)}$、ここで $E_{ij}(m,n) = a_i - a_j - \epsilon_1 h_i(m,n) + \epsilon_2 (v_j(m,n) + 1)$ である。
• 摂動的寄与は $Z_{\rm pert} = \prod_{m,n=0}^{\infty} \frac{\prod_{i,j} 2\sinh'\left(\frac{a_{ij} - m\epsilon_1 - n\epsilon_2}{2}\right)}{\prod_{i,a} 2\sinh\left(\frac{a_i + m_a - \epsilon_+ - m\epsilon_1 - n\epsilon_2}{2}\right)}$ で与えられ、$\sinh(0)$ 項は省かれる。
• 全分配関数は $Z_{\rm inst}^{U(N)} = \sum_{k=0}^{\infty} \lambda^k Z_k$ として与えられ、$Z_k$ は留数積分により計算され、この手法は既知の双対性およびAGT型関係と整合している。