[論文レビュー] Tangential dimensions II. Measures

Daniele Guido, Tommaso Isola|ArXiv.org|May 10, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、体積倍加条件の下で、局所的次元の接する測度の上界と下界として、$ℝ^N$ 上の測度における局所的揺動を検出するための接する次元を導入する。主な貢献は、これらの次元が多分形揺動を正確に捉え、それらが点ごとに一様でない可能性があるにもかかわらず、平行移動フラクタル上では測度の次元と非可換幾何的接する次元と一致することである。

ABSTRACT

Notions of (pointwise) tangential dimension are considered, for measures of R^n. Under regularity conditions (volume doubling), the upper resp. lower dimension at a point x of a measure can be defined as the supremum, resp. infimum, of local dimensions of the measures tangent to the given measure at x. Our main purpose is that of introducing a tool which is very sensitive to the "multifractal behaviour at a point" of a measure, namely which is able to detect the "oscillations" of the dimension at a given point, even when the local dimension exists, namely local upper and lower dimensions coincide. These definitions are tested on a class of fractals, which we call translation fractals, where they can be explicitly calculated for the canonical limit measure. In these cases the tangential dimensions of the limit measure coincide with the metric tangential dimensions of the fractal defined in math.FA/0305091, and they are constant, i.e. do not depend on the point. However, upper and lower dimensions may differ. Moreover, on these fractals, these quantities coincide with their noncommutative analogues, defined in math.OA/0202108 and math.OA/0404295, in the framework of Alain Connes' noncommutative geometry.

研究の動機と目的

• 測度のフラクタル的挙動における局所的揺動に敏感な次元理論を構築すること、特に局所次元が収束しない場合に有効であるようにすること。
• 点における測度の上接する次元と下接する次元を、接する測度の局所次元の上界と下界として定義すること。
• 測度の接する次元が、それらの下位の距離空間の次元および非可換幾何的類似次元と一致する条件を確立すること。
• 平行移動フラクタル上の標準的極限測度について、これらの次元を明示的に計算すること。ここで、それらは点ごとに一定であり、既知の幾何的およびスペクトル的不変量と一致する。

提案手法

• ネストされた球における測度質量の繰り返し対数比を用いて、上接する次元と下接する次元を定義する：$\underline{\delta}_{\mu}(x) = \liminf_{\lambda\to 0} \liminf_{r\to 0} \frac{\log(\mu(B(x,r))/\mu(B(x,\lambda r)))}{\log 1/\lambda}$。
• 関数$f(t) = -\log \mu(B(x,e^{-t}))$を導入し、差$g(t,h) = f(t+h) - f(t)$を用いて接する次元を再表現することで、漸近的成長率を用いた解析が可能になる。
• 体積倍加条件の下で、接する次元と接する測度の局所次元との等価性を確立する。
• 開集合条件を満たす自己相似集合である翻訳フラクタルの枠組みを用い、標準的極限測度が必要な正則性を満たすため、明示的な計算が可能になる。
• 接する次元を非可換幾何学におけるスペクトル三重項の不変量と関連づけ、[5,6]の結果と完全に一致することを示す。
• 測度質量$P_n$とレベル$n$におけるスケール$\Lambda_n$を表す列$P_n$および$\Lambda_n$に対して漸近的解析を適用し、上および下の局所次元を$\log P_n / \log 1/\Lambda_n$のliminf/limsupとして導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接する次元は、局所次元が存在する場合でも、その測度の局所次元における揺動的挙動を検出できるか？
• RQ2 測度の接する次元が、それらの下位の距離空間の次元と一致する条件は何か？
• RQ3 翻訳フラクタル上の標準的極限測度の接する次元は、それらの非可換幾何的類似次元と一致するか？
• RQ4 測度の接する次元とその接する測度の局所次元との正確な関係は何か？
• RQ5 翻訳フラクタル上での接する次元の挙動はいかなるものか？また、点ごとに一定であるか？

主な発見

• 開集合条件を満たす翻訳フラクタルでは、標準的極限測度の接する次元は、すべての点で一定であり、フラクタルの測度的接する次元に等しい。
• 測度の上接する次元と下接する次元は、点ごとに一定であるが、それらが異なる場合があり、これは局所次元における揺動的挙動を反映している。
• 翻訳フラクタルでは、接する次元は[5,6]でスペクトル三重項を用いて計算された非可換接する次元と一致し、幾何学的および非可換解析の間の橋渡しを果たす。
• 体積倍加条件の下で、測度の上接する次元と下接する次元は、接する測度の局所次元の上界と下界に等しい。
• 局所次元$\underline{d}_\mu(x)$と$\overline{d}_\mu(x)$は、それぞれ$\liminf_{n\to\infty} \frac{\log P_n}{\log 1/\Lambda_n}$および$\limsup_{n\to\infty} \frac{\log P_n}{\log 1/\Lambda_n}$として与えられる。ここで$P_n$はスケール$\Lambda_n$における測度質量である。
• ハウスドルフ次元$d_H(F)$は、$\liminf(\log P_n - d_H(F) \log 1/\Lambda_n)$が有限であるときかつそのときに限り、$\underline{d}_\mu(x)$に等しい。これにより、接する次元と非自明なハウスドルフ測度の存在が結びつけられる。