[論文レビュー] Teichmuller spaces, ergodic theory and global Torelli theorem

Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、双エルミート多様体のテイヒミュラー空間における写像類群作用の遍歴性を、ボゴモロフ＝ボエヴィル＝フジキ形式と周期写像を用いて確立する。この遍歴性は、双エルミート多様体が常に小林双曲的でないことを示し、シンプレクティックパッキングと正則的支配に関する新たな知見をもたらす。これにより、グローバルトーリの定理やモジュライ理論への応用が得られる。

ABSTRACT

A Teichmüller space $Teich$ is a quotient of the space of all complex structures on a given manifold $M$ by the connected components of the group of diffeomorphisms. The mapping class group $Γ$ of $M$ is the group of connected components of the diffeomorphism group. The moduli problems can be understood as statements about the $Γ$-action on $Teich$. I will describe the mapping class group and the Teichmuller space for a hyperkahler manifold. It turns out that this action is ergodic. We use the ergodicity to show that a hyperkahler manifold is never Kobayashi hyperbolic. This is my ICM submission, with review of some of my work on Teichmuller spaces and moduli; proofs are sketched, new observations and some open problems added.

研究の動機と目的

• 双エルミート多様体のテイヒミュラー空間および写像類群作用の構造を理解すること。
• 双エルミート多様体のテイヒミュラー空間におけるモノドロミー群作用の遍歴性を確立すること。
• 遍歴性を用いて、双エルミート多様体が小林双曲的でないことを証明すること。
• 遍歴性が正則的シンプレクティックパッキングおよび複素空間による支配への影響を調査すること。
• 周期写像と遍歴的技法を用いて、双エルミート多様体へのグローバルトーリの定理の拡張を試みること。

提案手法

• テイヒミュラー空間を、双エルミート多様体上のケーラー-compatibleな複素構造の空間を、同調変形群（Diff₀）で割ったものとして定義する。
• 周期写像を用いて、各複素構造をコホロロジーにおけるホッジ分解に写像し、これはDiff₀に対して不変である。
• ボゴモロフ＝ボエヴィル＝フジキ形式を用いて、テイヒミュラー空間の幾何と写像類群の作用を分析する。
• 遍歴理論の結果を応用し、写像類群がテイヒミュラー空間上で遍歴的であることを示す。
• シンプレクティック体積の下半連続性と遍歴不変性を用いて、正則的シンプレクティックパッキングおよびシンプレクティック埋め込みの半径の上限を研究する。
• 遍歴性を、ブロディ曲線の非存在および高次元における支配写像に対するブロディの補題の不成立と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双エルミート多様体のテイヒミュラー空間における写像類群作用は遍歴的か？
• RQ2 遍歴性を用いて、双エルミート多様体が小林双曲的でないことを証明できるか？
• RQ3 双エルミート多様体の正則的シンプレクティックパッキングにはどのような制約があり、体積の制約が唯一の制約か？
• RQ4 任意のコンパクトな双エルミート多様体は、正則的シンプレクティック同型写像によってℂⁿによって支配可能か？
• RQ5 遍歴性は、双エルミート多様体へのシンプレクティック埋め込みの半径の上限にどのように制約を加えるか？

主な発見

• 双エルミート多様体のテイヒミュラー空間における写像類群作用は遍歴的である。
• その結果、双エルミート多様体は小林双曲的ではなく、なぜなら遍歴的複素構造は整関数曲線を含むからである。
• 双エルミート多様体のテイヒミュラー空間は、ボゴモロフ＝ティアン＝トドロフの定理により、局所的にクルアシ空間と同型な複素多様体である。
• 周期写像はテイヒミュラー空間上で正しく定義され、Diff₀による商を経由して定義され、ホッジ構造を保存する。
• 正則的シンプレクティックパッキングの可能な半径の集合は下半連続的であり、遍歴的複素構造では一定である。
• K3表面の場合、シンプレクティック埋め込みの半径の上限は構造に応じて有限または無限であるが、一般には未解決のままである。