[論文レビュー] Tensor network decompositions for absolutely maximally entangled states

Balázs Pozsgay, Ian M. Wanless|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science参考文献 50被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、局所次元 D ≥ 5 および D ≥ 7 の場合に、6および8キュービットの絶対的に最大にエンタングルされた（AME）状態を、それぞれ3つおよび6つの2サイトユニタリ操作を用いて構成可能な、小さな対称的4脚テンソルを用いたテンソルネットワーク分解を提示する。主な貢献は、完璧テンソルをより小さな物理的に実現可能な成分に因数分解する体系的な手法を提供することであり、これにより、極めてエンタングルされた状態の効率的な量子回路実装が可能になる。

ABSTRACT

Absolutely maximally entangled (AME) states of $k$ qudits (also known as perfect tensors) are quantum states that have maximal entanglement for all possible bipartitions of the sites/parties. We consider the problem of whether such states can be decomposed into a tensor network with a small number of tensors, such that all physical and all auxiliary spaces have the same dimension $D$. We find that certain AME states with $k=6$ can be decomposed into a network with only three 4-leg tensors; we provide concrete solutions for local dimension $D=5$ and higher. Our result implies that certain AME states with six parties can be created with only three two-site unitaries from a product state of three Bell pairs, or equivalently, with six two-site unitaries acting on a product state on six qudits. We also consider the problem for $k=8$, where we find similar tensor network decompositions with six 4-leg tensors.

研究の動機と目的

• 絶対的に最大にエンタングルされた（AME）状態が、少数の対称的4脚テンソルを用いたテンソルネットワークに分解可能かどうかを調査すること。
• 標準的なグラフ状態の構成と比較して回路深さを短縮できるように、少数の2サイトユニタリ操作のみを用いてAME状態を構築する手法を開発すること。
• 完璧テンソルをより小さな物理的に実現可能な成分に因数分解することにより、その構造的性質を調査すること。
• 特にk=6およびk=8キュービット系に対して、このような分解が可能な最小の局所次元Dを特定すること。
• 基本的な多脚テンソルがより単純な構成要素に分解可能であることを示すことにより、ホログラフィック量子エラー訂正符号の理解に貢献すること。

提案手法

• 著者らは、有限体上での線形代数的構成を用いて、完璧テンソルを表す超正則行列を生成する。
• カウチ行列に基づく因数分解スキームを適用し、k脚の完璧テンソルを4脚テンソルのネットワークに分解する。
• 元のテンソルを、各々2サイトユニタリ相互作用に対応するより小さなテンソルの縮約として表現することで、分解を達成する。
• 全テンソルGがテンソル縮約により再構成可能であるため、2×2の可逆行列A^(ij)の存在に依存する。
• GF(5)、GF(8)、GF(11)における明示的な例により検証され、すべての行列の小行列式が非ゼロであることが確認され、完全なエンタングルメントが保証される。
• この手法は本質的に確率的であり、Dが十分に大きい場合、線形写像により構成された完璧テンソルのほとんどが因数分解可能であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k=6キュービットのAME状態は、D ≥ 5の場合に、3つの4脚テンソルのみを用いたテンソルネットワークに分解可能か？
• RQ2 k=8キュービットのAME状態は、同様に6つの4脚テンソルを用いて分解可能であり、最小のDは何か？
• RQ3 特定のAME状態を準備するために必要な2サイトユニタリの最小数は何か？ また、標準的なグラフ状態の構成と比較してどう異なるか？
• RQ4 局所次元Dおよび体構造にどのような条件下で、完璧テンソルをより小さな対称的テンソルに因数分解可能か？
• RQ5 完璧テンソルや平面的マクシマムエンタングルメント状態を、より小さなユニタリ相互作用のネットワークに分解する一般理論は存在するか？

主な発見

• k=6キュービットの場合、D ≥ 5のとき、3つの4脚テンソルのみを用いてAME状態を構成可能であり、これは積状態に作用する6つの2サイトユニタリに相当する。
• k=8キュービットの場合、D ≥ 7のとき、6つの4脚テンソルへの分解が達成され、12個の2サイトゲートで十分であることが示された。
• GF(5)、GF(8)、GF(11)における明示的な構成が提供され、得られたすべての行列の小行列式が非ゼロであり、完全なエンタングルメントが確認された。
• 固定されたkおよび十分に大きなDに対して、ランダムに選ばれた完璧テンソルが因数分解可能である確率は1に近づくことが示された。
• qubitベースのAME状態（D=2）は、この方法ではおそらく分解不可能であり、D=2では完全な4脚テンソルが存在しないからである。
• 著者らは、D=2,3,4のAME状態がこのフレームワーク下で非分解可能であると予想しており、高次のDでの因数分解可能性とは対照的である。