[論文レビュー] The automorphism group of a self-dual binary [72,36,16] code does not contain Z7, Z3xZ3, or D10

Thomas Feulner, Gabriele Nebe|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2011

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、巡回群 $Z_7$、初等アーベル群 $Z_3 \times Z_3$、または二面体群 $D_{10}$ を含む自己同型群をもつ極端な自己双対二進 [72,36,16] 符号が存在しないことを証明している。Magma を用いた計算的手法により、群代数の分解とトレース・ヘルミート符号を介して $G$-不変自己双対符号を分析し、これらの対称性のもとで最小距離 16 を達成できる符号は存在しないことを示した。結果として、このような符号の自己同型群の可能性は、5 または 24 の約数に限定される。

ABSTRACT

A computer calculation with Magma shows that there is no extremal self-dual binary code C of length 72 that has an automorphism group containing D10, Z3xZ3, or Z7. Combining this with the known results in the literature one obtains that Aut(C) is either Z5 or has order dividing 24.

研究の動機と目的

• 極端な自己双対二進 [72,36,16] 符号の可能な自己同型群を特定すること。
• このような符号の自己同型群に $Z_7$、$Z_3 \times Z_3$、$D_{10}$ が部分群として含まれないことを除外すること。
• これらの特定の群構造を除外することで、可能な自己同型群の分類を完了すること。
• 計算代数と表現論を用いて、群代数の分解を介して $\mathbb{F}_2$ 上の $G$-不変自己双対符号を分析すること。

提案手法

• 奇数位数のアーベル群 $G$ に対して、Maschke の定理を適用し、群代数 $\mathbb{F}_2G$ を体の直和に分解する。
• 群 $G$-不変自己双対符号と拡張体 $\mathbb{F}_{2^{k_i}}$ 上の自己双対符号の組の間の対応関係を用い、特定の双対性条件を満たすものとする。
• $\mathbb{F}_{16}$ 上のトレース・ヘルミート自己双対符号の構成を、体系的な生成行列と $D_{10} \wr S_7$ 対称性を用いてモデル化する。
• バックトラッキングアルゴリズムを実装し、長さ 7、最小 5 重みが 8 以上の $\mathbb{F}_4$-線形トレース・ヘルミート符号を生成する。
• $\mathbf{F}_4^* \times (D_{10} \wr S_7)$ を用いた軌道削減により、候補の探索空間を最小限に抑える。
• 1920 個の符号からなるリストから得られる二進符号 $C_0$ を用いて、拡張可能性をチェックし、最小距離 $\geq 16$ を満たすかを段階的にフィルタリングする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同型群に $Z_7$ を含む極端な自己双対二進 [72,36,16] 符号が存在するか？
• RQ2 自己双対 [72,36,16] 符号が自己同型群の部分群として $Z_3 \times Z_3$ を含むことは可能か？
• RQ3 このような符号の自己同型群が二面体群 $D_{10}$ を含むことは可能か？
• RQ4 仮定される極端な [72,36,16] 符号の自己同型群の可能な位数は何か？
• RQ5 計算的および表現論的解析に基づき、このような符号の自己同型群から除外される群構造は何か？

主な発見

• 自己同型群に $Z_7$ を含む極端な自己双対二進 [72,36,16] 符号は存在しない。
• 自己同型群に $Z_3 \times Z_3$ を部分群として含むような符号は存在しない。
• 自己同型群に $D_{10}$ を部分群として含むような符号は存在しない。
• Magma とカスタムのバックトラッキングアルゴリズムを用いて、約 70 日分の CPU 時間を要した計算が行われた。
• 探索のレベル $i=7$ で残った 4 つの候補符号すべてについて、全符号が最小距離 16 を達成するような有効な二進拡張 $C_0$ は見つからなかった。
• 極端な [72,36,16] 符号の自己同型群の位数は 5 または 24 の約数に限定される。