[論文レビュー] The conical Kähler-Ricci flow on Fano manifolds

Jiawei Liu, Xi Zhang|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 36被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、滑らかな除集合 $D$ と $D$ 沿いの角 $2\pi\beta$ を持つファノ多様体上で、錐型ケーラー・リッチ・フローの長時間存在および収束を確立する。錐型フローを、一様なペルマネ型推定を伴う一連のねじれケーラー・リッチ・フローで近似することで、存在する場合、フローが錐型ケーラー・アインシュタイン計量に収束することを示した。これは、標準ケーラー・リッチ・フローに関する既存の結果を拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper, we study the long-term behavior of the conical Kähler-Ricci flow on Fano manifold $M$. First, based on our work of locally uniform regularity for the twisted Kähler-Ricci flows, we obtain a long-time solution to the conical Kähler-Ricci flow by limiting a sequence of these twisted flows. Second, we study the uniform Perelman's estimates of the twisted Kähler-Ricci flows. After that, we prove that the conical Kähler-Ricci flow must converge to a conical Kähler-Einstein metric if there exists one.

研究の動機と目的

• 除集合 $D$ と角 $2\pi\beta$ を持つファノ多様体上での錐型ケーラー・リッチ・フローの長期的挙動を確立すること。
• 標準ケーラー・リッチ・フローの収束結果を、計量が除集合に沿って特異性を持つ錐型設定に拡張すること。
• 錐型ケーラー・アインシュタイン計量が存在する場合、錐型ケーラー・リッチ・フローがその計量に $C^\infty$-位相で収束することを証明すること。
• 錐型フローの近似を制御するための、ねじれケーラー・リッチ・フローに対する一様推定を構築すること。

提案手法

• 固定された閉 $(1,1)$-形式 $\theta$ を持つ、$[\alpha] \neq 0$ であるねじれクラス $[\alpha]$ 内の、滑らかなねじれケーラー・リッチ・フローの系列により、錐型ケーラー・リッチ・フローを近似する。
• ねじれケーラー・リッチ・フローの局所的・一様な正則性結果を用いて、極限過程により錐型フローの長時間解を構成する。
• ねじれフローに対して一様なペルマネ型推定を確立し、スカラー曲率、リッチ曲率、エントロピー関数の境界を含む。
• モデルの錐型計量の族を $\omega^* = \omega_0 + k\sqrt{-1}\partial\overline{\partial}|s|^{2\beta}$ および正則化されたカットオフ関数 $\chi(\varepsilon^2 + |s|^2)$ を用いて構築する。
• カットオフ関数 $\phi_i$ と正規化されたテスト関数 $u_i$ を用いた吹き上がり議論により、有界でない直径から矛盾を導出し、一様な直径制御を証明する。
• $\mathcal{W}_{\theta_\varepsilon}$-汎関数を用い、$u_i^2$ で積分することで、エントロピーの境界と矛盾を導出し、$C_i \to \infty$ のとき一様な直径境界が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 除集合 $D$ と角 $2\pi\beta$ を持つファノ多様体上での錐型ケーラー・リッチ・フローは、長時間解をもつか？
• RQ2 一様な推定を伴う、ねじれケーラー・リッチ・フローの系列により、錐型ケーラー・リッチ・フローを近似できるか？
• RQ3 錐型ケーラー・リッチ・フローが錐型ケーラー・アインシュタイン計量に収束する条件は何か？
• RQ4 すべての $t \geq 1$ に対して、錐型ケーラー・リッチ・フローに沿った多様体の直径は一様に有界か？

主な発見

• 除集合 $D$ と角 $2\pi\beta$ を持つファノ多様体上での錐型ケーラー・リッチ・フローは、ねじれケーラー・リッチ・フローの極限として得られる長時間解をもつ。
• ねじれケーラー・リッチ・フローに対して一様なペルマネ型推定が確立され、曲率およびエントロピーの制御が可能になる。
• 錐型ケーラー・リッチ・フローに沿って、すべての $t \geq 1$ で多様体の直径は一様に有界である。これは、$\mathcal{W}$-汎関数と吹き上がり解析を用いた背理法により証明された。
• ファノ多様体に角 $2\pi\beta$ を持つ錐型ケーラー・アインシュタイン計量が存在する場合、錐型ケーラー・リッチ・フローはその計量に $C^\infty$-位相で収束する。
• 収束結果は、ティアンとズーによる標準ケーラー・リッチ・フローの古典的結果を錐型設定に拡張するものである。