[論文レビュー] The Temperley-Lieb categories and skein modules

Joshua Chen|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本学位論文は、Temperley-Lieb圏と系モジュールの理論を発展させ、球面的融合圏を構成する。その後、その球面的融合圏を用いて、$n$-穴あきディスクにおけるTuraev-Viro系モジュールを定義する。主な貢献は、量子パラメータ $q$ を単位根に特異化したとき、一般のTemperley-Lieb-Jones圏が半単純かつ球面的になることを示したことである。これにより、$(2+1)$次元TQFTにおける系モジュールを用いた位相的不変量の構成が可能になる。

ABSTRACT

We develop the theory of diagrammatic Temperley-Lieb categories in order to construct examples of spherical fusion categories, which we then use to construct Turaev-Viro skein modules for n-holed disks. This is a thesis submitted for the degree of Bachelor of Science with Honours at the Australian National University.

研究の動機と目的

• Temperley-Lieb圏の図式的理論を発展させ、位相的不変量を構成する基盤とする。
• Jones-Wenzl射影を用いて、一般のTemperley-Lieb-Jones圏の半単純性を確立する。
• 核となる射のイデアルを商することにより、根の単位根における圏の振る舞いを分析する。
• 得られた球面的融合圏を用いて、$n$-穴あきディスクのTuraev-Viro系モジュールを構成する。
• 図式的圏、系理論、位相的量子場理論を結ぶ自己完結的な解説を提供する。

提案手法

• 図式的生成子と関係式を用いて一般のTemperley-Lieb圏を構成し、自己準同型空間がTemperley-Lieb代数に同型であることを示す。
• Jones-Wenzl射影を導入し、圏の分解を図り、一般のTemperley-Lieb-Jones圏の半単純性を証明する。
• 図式的恒等式と系関係を適用し、圏内の複雑さを低減し、整合性を検証する。
• 量子パラメータ $q$ を根の単位根に特異化し、トレース形式の核として核となるイデアルを定義する。
• 核となるイデアルで圏を商することで、有限個の単純対象をもつ半単純かつ球面的な融合圏が得られる。
• 得られた圏を用いて、状態和の構成により、$n$-穴あきディスクのTuraev-Viro系モジュールを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてTemperley-Lieb圏を、TQFTの構成に適した球面的融合圏へ拡張できるか？
• RQ2 量子パラメータ $q$ が根の単位根に特異化されたとき、Temperley-Lieb-Jones圏の構造はどのようなものか？
• RQ3 Jones-Wenzl射影は、一般のTemperley-Lieb-Jones圏の半単純性にどのように寄与するか？
• RQ4 核となるイデアルは、根の単位根における圏において果たす役割は何か？ また、それを商することでなぜ半単純な圏が得られるのか？
• RQ5 Temperley-Lieb-Jones圏から導かれる球面的融合圏を用いて、$n$-穴あきディスクのTuraev-Viro系モジュールを明示的に構成できるか？

主な発見

• Jones-Wenzl射影の存在と性質により、一般のTemperley-Lieb-Jones圏が半単純であることが示された。
• 根の単位根において、圏は $\mathrm{Rep}\,U_q(\mathfrak{sl}_2)$ の半単純化と同値となり、量子群と関連づけられる。
• 核となるイデアルで商した後、根の単位根における圏は、有限個の単純対象をもつ半単純かつ球面的な融合圏となる。
• 得られた圏を用いて、状態和不変量により、$n$-穴あきディスクのTuraev-Viro系モジュールを構成できる。
• 図式的恒等式と再書き換え規則により、系モジュール内の複雑さが低減され、不変量の明示的計算が可能になる。