[論文レビュー] Three-Loop Contributions to the Gluonic Massive Operator Matrix Elements at General Values of N

Jakob Ablinger, J. Blümlein+7 more|DESY (CERN, DESY, Fermilab, IHEP, and SLAC)|Dec 31, 2012

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 39被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、一般のメリン $N$ における三ループのゲルミオン的質量のあるオペレータ行列要素（OMEs）の完全な解析的計算を、$O(n_f T_F^2 C_{F,A})$ および $O(T_F^2 C_{F,A})$ 捐献について行い、高度な記号的和分および積分技法を用いる。主な結果は、一般化された調和和、二項係数和、逆二項係数和、および円分和を用いた閉形式表現の導出であり、次にNNLO QCDにおける深エネルギースキャッタリングにおける特殊関数の既知のアルファベットを拡張するものである。

ABSTRACT

Recent results on the calculation of 3-loop massive operator matrix elements in case of one and two heavy quark masses are reported. They concern the $O(n_f T_F^2 C_{F,A})$ and $O(T_F^2 C_{F,A})$ gluonic corrections, two-mass quarkonic moments, and ladder- and Benz-topologies. We also discuss technical aspects of the calculations.

研究の動機と目的

• 深エネルギースキャッタリングのNNLO QCD分析に不可欠な、アセプトティック領域におけるゲルミオン的補正の三ループ質量のあるオペレータ行列要素（OMEs）を計算すること。
• メリン変数 $N$ の一般値への計算の拡張を図り、$F_2(x,Q^2)$ および $F_L(x,Q^2)$ の完全なNNLO分析を可能にすること。
• $m_c^2/m_b^2 \approx 1/10$ であるため、変数フレーバー数スキームが破綻する2質量系（ charm および bottom クォーク）に対処すること。
• 三ループ図における局所的オペレータ挿入に伴う複雑なネストされた和および積分を扱うために、高度な記号的計算技法の開発と応用を行うこと。
• 一般化された調和和、二項係数和、逆二項係数和、および円分和の新しいクラスを特定することにより、QCDにおける特殊関数のアルファベットを一般化すること。

提案手法

• スカラー三ループラダーダイアグラムおよびベンツトポロジー（質量のあるクォーク線および局所的オペレータ挿入を含む）の計算に、ハイパーログリズムおよび有限フェルミオン積分技法を用いた。
• 大規模なネストされた和の集合を最小の閉形式表現に圧縮するために、Sigmaパッケージおよびそのサブルーチン EvaluateMultiSum と SumProduction を使用した。
• 計算されたメリンモーメント（約1500まで）から線形差分方程式を推測する手法を適用し、それをSigmaを用いて解いて $N$ 番目のモーメントを再構成した。
• HarmonicSumsパッケージを拡張し、最大16階および108次までの高階差分方程式を扱えるようにし、記号的検証および証明認証を可能にした。
• 結果をメリン-$N$ 空間から $x$-空間に変換し、ルート型および一般化された調和文字を含む新しい反復積分を導出し、既存の結果を拡張した。
• ハイパーログリズムの手法を用いて、積分におけるルート文字を関数の引数に移動させ、解析的性および構造を保つようにした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の $N$ に対して、$O(n_f T_F^2 C_{F,A})$ および $O(T_F^2 C_{F,A})$ 捐献を含めた三ループゲルミオン的質量のあるOMEsを閉形式でどのように計算できるか？
• RQ2 質量のあるクォークおよび局所的オペレータ挿入を伴う三ループOMEsのメリン空間表現において、どのような新しい特殊関数のクラスが出現するか？
• RQ3 charm および bottom クォークを含む2質量系OMEsの結果は、単一質量系とはどのように異なり、変数フレーバー数スキームにどのような影響を与えるか？
• RQ4 ハイパーログリズムおよび記号的和分の手法を、非特異なベンツトポロジーおよび複数の質量線を有するラダーダイアグラムに拡張できるか？
• RQ5 局所的オペレータ挿入を伴う三ループ図における $x$-空間および $N$-空間における反復積分およびネストされた和のアルファベットの構造はどのようなものか？

主な発見

• $A_{gq,Q}^{(3)}$ および $A_{gg,Q}^{(3)}$ の $O(n_f T_F^2 C_{F,A})$ 捐献について、一般化された調和和および $N$ の有理関数を用いた閉形式表現が完全に導出された。
• 初めて、$A_{gg,Q}$ および $A_{gq,Q}$ の $O(T_F^2 C_{F,A})$ 捐献が計算され、非脱結合性のcharmおよびbottomクォークを含む2質量系に対して新しい結果が得られた。
• 最大6本の質量のあるフェルミオン線を有するスカラー三ループラダーダイアグラムが計算され、一般化された調和和、二項係数和、逆二項係数和、および円分和を含む表現が得られた。
• 個々の和に指数的発散性が存在するが、物理的組み合わせでは発散性が相殺され、有限な物理的振幅が保証される。
• $x$-空間では、ルート型文字を含む新しい反復積分が得られ、調和多重リーマンゼータ関数を超える特殊関数の既知のアルファベットが拡張された。
• Sigmaを用いて $N$-空間における関数の基底が導出され、相対的超越性が確認され、結果の最小表現が得られた。