[論文レビュー] Topological correlators of $SU(2)$, $\mathcal{N}=2^*$ SYM on four-manifolds

Jan Manschot, Gregory W. Moore|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 137被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$b_2^+ \geq 1$ を満たす滑らかでコンactな4次元多様体上の $\mathcal{N}=2^*$、$SU(2)$ supersymmetric Yang-Mills理論におけるトポロジカルな相関関数の明示的公式を導出する。$S$-duality に対して正しく変換され、$b_2^+ = 1$ のときにはモックモジュラー形式であることが示され、$\mathrm{Spin}^c$ 構造を介して一貫した定式化が確立される。$m \to 0$（Vafa-Witten）および $m \to \infty$（Donaldson-Witten）の極限で既知の結果が回復され、インスタントンモジュライ空間上の物質バンドルのオイラー数の生成関数として、分割関数の正則部分が特定される。

ABSTRACT

We consider topologically twisted $\mathcal{N}=2$, $SU(2)$ gauge theory with a massive adjoint hypermultiplet on a smooth, compact four-manifold $X$. A consistent formulation requires coupling the theory to a ${ m Spin}^c$ structure, which is necessarily non-trivial if $X$ is non-spin. We derive explicit formulae for the topological correlation functions when $b_2^+\geq 1$. We demonstrate that, when the ${ m Spin}^c$ structure is canonically determined by an almost complex structure and the mass is taken to zero, the path integral reproduces known results for the path integral of the $\mathcal{N}=4$ gauge theory with Vafa-Witten twist. On the other hand, we reproduce results from Donaldson-Witten theory after taking a suitable infinite mass limit. The topological correlators are functions of the UV coupling constant $τ_{ m uv}$ and we confirm that they obey the expected $S$-duality transformation laws. The holomorphic part of the partition function is a generating function for the Euler numbers of the matter (or obstruction) bundle over the instanton moduli space. For $b_2^+=1$, we derive a non-holomorphic contribution to the path integral, such that the partition function and correlation functions are mock modular forms rather than modular forms. We comment on the generalization of this work to the large class of $\mathcal{N}=2$ theories of class $S$.

研究の動機と目的

• 4次元多様体上で $b_2^+ \geq 1$ を満たす $\mathcal{N}=2^*$、$SU(2)$ SYM におけるトポロジカル相関関数の明示的公式を導出すること。
• 非スピン多様体に対しても有効な一貫したトポロジカルにねじれた理論の定式化を、$\mathrm{Spin}^c$ 構造を介して確立すること。
• 分割関数および相関関数が $S$-duality に対して正しく変換されることを示し、モジュラー性質を確認すること。
• $m \to 0$ の極限で、経路積分が $\mathcal{N}=4$ 理論の Vafa-Witten 結果を再現することを示すこと。
• $m \to \infty$ の極限で Donaldson-Witten 不変量が回復されることを示し、$\mathcal{N}=2^*$ 理論と Donaldson 理論を結びつけること。

提案手法

• UVカップリング $\tau_{\rm uv}$ を持つ $\mathrm{Spin}^c$ 構造を用いて経路積分を定式化し、質量のある随伴ヒペルマルチプレットが存在する場合の整合性を確保する。
• トポロジカル相関関数はホモロジー類の形式的べき級数として計算され、修正されたプリポテンシャル $\tilde{\mathcal{F}}$ を含むクーロン枝積分を用いて生成関数が表現される。
• $b_2^+ = 1$ の場合、分割関数がモジュラー形式ではなくモックモジュラー形式として変換するように、非正則補正項が導出される。
• 分割関数の正則部分が、インスタントンモジュライ空間上の物質バンドルのオイラー数の生成関数として特定される。
• $\tau_{\rm uv} \to -1/\tau_{\rm uv}$ の下での分割関数のモジュラー性を分析することで、$S$-duality 変換則の検証が行われる。
• クーロン枝積分の漸近的解析を用いて $m \to 0$ および $m \to \infty$ の極限をとり、$\mathcal{N}=4$ および Donaldson-Witten 理論からの既知の結果が回復されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元多様体上の $\mathcal{N}=2^*$、$SU(2)$ SYM におけるトポロジカル相関関数は、UVカップリング $\tau_{\rm uv}$ と質量パラメータ $m$ にどのように依存するか？
• RQ2 特に非スピン多様体において、$\mathrm{Spin}^c$ 構造がトポロジカル理論の定式化において果たす役割は何か？
• RQ3 分割関数および相関関数は $S$-duality に対してどのように振る舞い、モジュラー形式か、それともモックモジュラー形式か？
• RQ4 $m \to 0$ および $m \to \infty$ の極限では何が起こり、$\mathcal{N}=4$ および Donaldson-Witten 理論からの既知の結果が再現されるか？
• RQ5 分割関数の正則部分と、インスタントンモジュライ空間上の物質バンドルのオイラー数との明確な関係は何か？

主な発見

• トポロジカル相関関数が計量の変形に対して全微分の違いを除いて不変であることが示され、滑らかな多様体不変量としての地位が確認された。
• 分割関数は $b_2^+ = 1$ のときモックモジュラー形式である。モジュラー性を達成するためには非正則補正項が必要である。
• 分割関数の正則部分が、インスタントンモジュライ空間上の物質バンドルのオイラー数の生成関数として特定された。
• $m \to 0$ の極限で、経路積分は既知の Vafa-Witten トゥイスト $\mathcal{N}=4$ 理論の結果を再現した。
• $m \to \infty$ の極限で、理論は Donaldson-Witten 理論に還元され、Seiberg-Witten 写像を介して Donaldson 不変量が回復された。
• $S$-duality 変換則が確認された：分割関数は $\tau_{\rm uv} \to -1/\tau_{\rm uv}$ の下で正しく変換され、カップリング $\tau_{\rm uv}$ はモジュラーパラメータとして変換する。