[論文レビュー] Towards Completely Characterizing the Complexity of Boolean Nets Synthesis

Ronny Tredup, Christian Rosenke|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2018

Formal Methods in Verification参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、8つの基本的相互作用（nop、inp、out、set、res、swap、used、free）から導かれる256通りのすべてのネットタイプにわたるブールネット合成の包括的な計算量的複雑性解析を提供する。77のネットクラスについては、単調な1-in-3 3-SAT問題への汎用的還元法を用いてNP完全性を確立し、別個の還元法を用いて7つの追加のNP困難クラスを特定した。また、(nop, swap)および(nop, set)/(nop, res)の(out, used, free)の部分集合を含む拡張を含む36の tractable（容易に解ける）クラスに対して多項式時間の合成アルゴリズムを提示した。

ABSTRACT

Boolean nets are Petri nets that permit at most one token per place. Research has approached this important subject in many ways which resulted in various different classes of boolean nets. But yet, they are only distinguished by the allowed interactions between places and transitions, that is, the possible effects of firing transitions. There are eight different interactions: no operation (nop), input (inp), output (out), set, reset (res), swap, test of occupation (used), and test of disposability (free). Considering every combination for a possible net class yields 256 boolean classes in total. The synthesis problem for a particular class is to take an automaton A and compute a boolean net of that class that has a state graph isomorphic to A. To the best of our knowledge, the computational complexity of this problem has been analyzed for just two of the 256 classes, namely elementary nets systems (nop, inp, out), where the problem is NP-hard, and flip-flop nets (nop, inp, out, swap), which are synthesizable in polynomial time. However, depending on the desired net features, like read-only places, exception handling, or hierarchy, one has to synthesize nets with other interactions as for instance contextual nets (nop, inp, out, used, free) or trace nets (nop, inp, out, set, res, used, free). The contribution of this paper is a thorough investigation of the synthesis complexity for the 128 boolean net classes that allow nop. Our main result is a general proof scheme that identifies 77 NP-hard cases. All remaining 51 classes are shown to be synthesizable in polynomial time where 35 of them turn out to be trivial.

研究の動機と目的

• 8つの基本的相互作用から導かれる256通りのすべての相互作用ベースのネットタイプにわたるブールネット合成の計算量的複雑性を完全に同定すること。
• どのネットクラスが多項式時間での合成を可能とし、どのクラスがNP完全であるかを特定すること。特に、ラベル付き遷移系を対応するネット構造に翻訳する可能性に焦点を当てる。
• 広範なネットタイプのクラスに対してNP困難性を示すための汎用的還元スキームを開発し、従来の方法が適用可能な基本的ネット系を超えて拡張すること。
• 合成の複雑性が未解決のまま残っている8つのケースを特定・分析すること。特に、(nop, inp, [used])、(nop, out, [free])、(nop, set, res)、および(set/resを含む)(nop, swap)を含むネットについて、その構造的困難さに注目する。
• これまで未解決であった20の tractable（容易に解ける）ネットクラスに対して、新たな多項式時間合成アルゴリズムを提示すること。特に、(nop, set)および(nop, res)に(out, used, free)を拡張したケースを含む。

提案手法

• 単調な1-in-3 3-SAT問題を77のネットクラスにおけるイベント状態分離性（ESSP）に変換する汎用的還元スキームを提案。これにより、合成の可能性のNP完全性が示され、結果として合成のNP困難性が証明される。
• 可能性と状態分離性（SSP）およびESSPの論理積の等価性を用い、合成問題を遷移系に関する決定問題に還元する。
• swapを除く(nop, inp, out)の超集合、(nop, inp, set)または(nop, out, res)の超集合、および(set, res)または(inp, out, used, free)を少なくとも1つ含む(nop, swap)の拡張に対して、一貫した還元パターンを適用する。
• 16のクラス（(nop, set)に(out, used, free)の部分集合を含む）および16のクラス（(nop, res)に(inp, used, free)の部分集合を含む）に対して、Schmittの(nop, swap)拡張のアプローチを一般化した新たな多項式時間合成アルゴリズムを開発する。
• 技術的補題およびリージョンベースの解析を用いて、ブール論理式から導かれる複雑なガジェット遷移系のSSPおよびESSPを検証し、還元の正当性を保証する。
• 一般還元や多項式時間アルゴリズムを適用する構造的制限により、8つのネットクラスが未解決のまま残り、結論部でそれらの本質的困難さを議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 256通りのブールネットタイプのうち、どのタイプが多項式時間での合成を可能とし、どのタイプがNP完全であるか？
• RQ2 基本的ネット系を超えて、広範なブールネットクラスに対してNP困難性を示すための汎用的還元スキームを開発できるか？
• RQ3 どのネットクラスの構造的性質が、効率的な合成アルゴリズムの実現を可能または不可能にするか？
• RQ4 なぜ特定のネットクラス、特に(nop, set, res)や(set/resを含む)(nop, swap)を含むクラスは、汎用的還元および多項式時間アルゴリズムの両方のアプローチに抵抗するのか？
• RQ5 未解決の複雑性ケースが、今後のネット合成および形式手法分野の研究に与える影響は何か？

主な発見

• 本研究では、単調な1-in-3 3-SATに基づく統一された還元スキームを用いて、77のブールネットクラスのNP完全性を確立した。これは、従来の基本的ネット系に対するNP困難性証明を大幅に一般化したものである。
• 別個の還元パターンを用いて、7つの追加のネットクラスがNP困難であることが示された。これには、(nop, set, res)にusedまたはfreeを拡張したケース、および(nop, inp, free, [used])、(nop, out, used, [free])が含まれる。
• 36のネットクラスで多項式時間の合成が達成された。具体的には、(inp, out, used, free)の部分集合を含む16の(nop, swap)の拡張、(out, used, free)を含む16の(nop, set)のクラス、および(used, free)を含む4つの単純なケース（(nop)の拡張）が含まれる。
• 8つのネットクラスの合成複雑性は未解決のままである。これは、(nop, inp, [used])、(nop, out, [free])、(nop, set, res)、および(setまたはresを少なくとも1つ含む)(nop, swap)のケースであり、既存の手法を適用する構造的制限が原因である。
• 著者らは、決定的ブールネットに対しては8つの基本的相互作用しか存在しないことを示した。これにより、ブールネットタイプの族は256通りの組み合わせに完全に制限される。
• 本研究は、Schmittのフリップフロップネットに対するアプローチが、(inp, out, used, free)を含むすべての16通りの(nop, swap)の拡張に一般化可能であることを確認した。これにより、このクラス全体に対して多項式時間での合成が可能であることが示された。