[論文レビュー] Transversal homotopy theory

Jonathan Woolf|ArXiv.org|Oct 17, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic TopologyMathematics参考文献 11被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、各層にわたる写像が層に対して横断的であるようなホモトピーに制限することで、ホワイトニー分離多様体に対する横断的ホモトピー理論を構築する。これにより、通常のホモトピー論では失われる層との位相的相互作用が保持される。主な貢献は、$k$-重モノイド的 $n$-群コホモロジーをカテゴライカルにモデル化する横断的ホモトピーモノイドおよび群コホモロジーの構成であり、ポンツェリーン＝トムの構成により、フレーム付きタングルとして幾何的解釈が与えられる。

ABSTRACT

Implementing an idea due to John Baez and James Dolan we define new invariants of Whitney stratified manifolds by considering the homotopy theory of smooth transversal maps. To each Whitney stratified manifold we assign transversal homotopy monoids, one for each natural number. The assignment is functorial for a natural class of maps which we call stratified normal submersions. When the stratification is trivial the transversal homotopy monoids are isomorphic to the usual homotopy groups. We compute some simple examples and explore the elementary properties of these invariants. We also assign `higher invariants', the transversal homotopy categories, to each Whitney stratified manifold. These have a rich structure; they are rigid monoidal categories for n>1 and ribbon categories for n>2. As an example we show that the transversal homotopy categories of a sphere, stratified by a point and its complement, are equivalent to categories of framed tangles.

研究の動機と目的

• 分離多様体に対するホモトピー論を、標準的ホモトピー論で失われる層との相互作用を保つために、横断的写像に制限することで確立すること。
• ホモトピー群や基本群コホモロジーといった古典的ホモトピー不変量を、層との交差に関する情報を保持する横断的設定に一般化すること。
• 高次カテゴリカル構造、たとえば $k$-重モノイド的 $n$-群コホモロジーをモデル化する横断的ホモトピーモノイドおよび群コホモロジーを構成すること。
• ポンツェリーン＝トムの構成を用いて、これらの不変量の幾何的実現を提供し、横断的ホモトピー類をフレーム付きタングルに同定すること。
• フレーム付き部分多様体の崩壊写像が、横断的写像によるホモトピーに関して一意的であることを示し、不変量の整合性を保証すること。

提案手法

• すべての層に横断的である写像 $[0,1]^n \to X$ を用いて、点付きホワイトニー分離多様体からダガーモノイドへの関手として横断的ホモトピーモノイド $\psi_n(X)$ を定義する。
• 合成において横断性が保たれるように、点付きホワイトニー分離多様体および分離正規部分被覆の圏 $\mathbf{Whit}_\star$ を導入する。
• サスペンションやソース空間といった標準的位相的構成のファイブレーション補完（太らしバージョン）を構成し、$\mathbf{Whit}_\star$ に属することを保証し、横断性を維持する。
• ポンツェリーン＝トムの構成を用いて、フレーム付き codimension $k$ の部分多様体 $W$ に対して、横断性とフレームの整合性を保つ崩壊写像 $\kappa_W: (S^n, B^n) \to (S^k, \star)$ を定義する。
• 崩壊写像のホモトピー的同値性の一意性を、崩壊写像の滑らか化とホモトピー不変性を用いて確立する。
• 任意の横断的写像 $f: (S^n, B^n) \to (S^k, \star)$ が、$p$ の近傍を固定するホモトピーを通じて $f^{-1}(p)$ の崩壊写像にホモトープであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離空間に対するホモトピー論を、キャンセルを許さず層との横断的交差に関する情報を保持するように開発できるか？
• RQ2 ホワイトニー分離多様体の文脈において、横断的ホモトピーモノイド $\psi_n(X)$ は、古典的ホモトピー群 $\pi_n(X)$ をどのように一般化するか？
• RQ3 点とその補集合からなる分離球 $\mathbb{S}^k$ の横断的ホモトピーモノイド $\psi_n(\mathbb{S}^k)$ の幾何的意味は何か？
• RQ4 高次カテゴリカル構造、たとえば $k$-重モノイド的 $n$-カテゴリをモデル化する横断的ホモトピー群コホモロジー $\Psi_{n,n+1}(X)$ を構成できるか？
• RQ5 フレーム付き部分多様体の崩壊写像が、横断的写像によるホモトピーに関して一意的であるか、不変量の整合性が保証されるか？

主な発見

• 横断的ホモトピーモノイド $\psi_n(X)$ は、$\mathbf{Whit}_\star$ からダガーモノイドの圏への関手であり、$n > 0$ の場合に古典的 $\pi_n(X)$ を一般化する。
• 点とその補集合からなる分離球 $\mathbb{S}^k$ に対して、$\psi_n(\mathbb{S}^k)$ は、$\mathbb{R}^n$ 内の codimension $k$ フレーム付き部分多様体の周囲同相類の集合と同型である。すなわち、フレーム付きタングルである。
• ポンツェリーン＝トムの構成により、$\psi_n(\mathbb{S}^k)$ は $n$ 次元におけるフレーム付きタングルの圏として幾何的モデル化され、横断的ホモトピーと幾何的位相の直接的な関係が確立される。
• フレーム付き部分多様体の崩壊写像は、横断的写像によるホモトピーに関して一意的であり、$\psi_n(X)$ の構成が適切に定義され、整合的であることが保証される。
• 任意の横断的写像 $f: (S^n, B^n) \to (S^k, \star)$ は、$f^{-1}(p)$ の崩壊写像に横断的写像によるホモトピーで変換可能であり、すべての横断的写像がこのような幾何的データによって表現可能であることを示す。
• 横断的ホモトピー群コホモロジー $\Psi_{n,n+1}(X)$ は、基本群コホモロジーを一般化し、$X = \mathbb{S}^k$ のとき $k$-重モノイド的 $n$-カテゴリをモデル化する。これは、この文脈におけるタングル予想を支持する。