[論文レビュー] Twisting structures and strongly homotopy morphisms

Kathryn Hess, Jonathan Scott|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、全般的な枠組みを提示し、度数ごとに有限生成な射影的チェイン複体の圏における、操作子の代数間の強くホモトピー的（SH）な準同型をパrametrizeするための、ねじれ構造（twisting structures）を用いる。主な貢献は、コオペラッドの準同型 $g: \mathscr{Q} \to \mathbf{B}\mathscr{P}$ に付随する $\Pi$-コリングのクリエスリー圏（Kleisli category）が、$\Pi$-代数とそれらのSH準同型の圏に同型であることを示したことである。これにより、バーバー、コバーバー、およびコーゾル構成が、一様な操作子的枠組みの下で統一される。

ABSTRACT

In an application of the notion of twisting structures introduced by Hess and Lack, we define twisted composition products of symmetric sequences of chain complexes that are degreewise projective and finitely generated. Let Q be a cooperad and let BP be the bar construction on the operad P. To each morphism of cooperads g from Q to BP is associated a P-co-ring, K(g), which generalizes the two-sided Koszul and bar constructions. When the co-unit from K(g) to P is a quasi-isomorphism, we show that the Kleisli category for K(g) is isomorphic to the category of P-algebras and of their morphisms up to strong homotopy, and we give the classifying morphisms for both strict and homotopy P-algebras. Parametrized morphisms of (co)associative chain (co)algebras up to strong homotopy are also introduced and studied, and a general existence theorem is proved. In the appendix, we study the particular case of the two-sided Koszul resolution of the associative operad.

研究の動機と目的

• 度数ごとに有限生成な射影的チェイン複体の圏における操作子の代数間の strongly homotopy 準同型を分類するための一般的な操作子的枠組みを構築すること。
• コオペラッドの準同型 $g: \mathscr{Q} \to \mathbf{B}\mathscr{P}$ に付随する新しいコリング構成 $K(g)$ を用いて、二重側コーゾルおよびバーバー構成を一般化すること。
• コルール $K(g) \to \mathscr{P}$ が quasi-isomorphism であるとき、$K(g)$ のクリエスリー圏が $\mathscr{P}$-代数とそれらのSH準同型の圏に同型であることを示すこと。
• 結合的代数および余結合的コールーブレットのパラメータ付きSH準同型へ理論を拡張し、そのような構造の存在定理を提供すること。

提案手法

• 本稿は、チェイン複体の対称系列におけるねじれ構造を用いて、ねじれ付き合成積を定義し、古典的なねじれコチェーン構成を一般化する。
• 操作子 $\mathscr{P}$ のバーバー構成 $\mathbf{B}\mathscr{P}$ を用いて、準同型 $g: \mathscr{Q} \to \mathbf{B}\mathscr{P}$ から $\mathscr{P}$-コリング $K(g)$ を構成する。
• コリング $K(g)$ は $\mathscr{P}$-代数の圏にコモノイドを誘導し、そのクリエスリー圏がSH準同型をパラメータ化する。
• この構成は、コーゾル操作子 $\mathscr{P}$ の二重側コーゾル分解 $K(\mathscr{P})$ に適用され、自然に $\mathscr{P}$-コリングを形成することが示される。
• $\mathscr{P}_{\infty}$-代数に対して、$\mathbf{\Omega}\mathscr{P}^{\bot}$ の分解 $K'(\mathscr{P})$ を構成し、これは $\mathbf{\Omega}\mathscr{P}^{\bot}$-コリングをなす。このコリングのクリエスリー圏は、$\mathscr{P}_{\infty}$-代数とそれらのSH準同型の圏に同型である。
• 正規性とアサイクル性を用いて、フィルトレーション付き部分複体上での準同型の自然な拡張を構成することで、パラメータ付きSH準同型の存在定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$\mathscr{P}$-代数間の strongly homotopy 準同型の概念を、操作子的構造を用いて体系的にパラメータ化できるか？
• RQ2 コオペラッドの準同型 $g: \mathscr{Q} \to \mathbf{B}\mathscr{P}$ に付随するコリング $K(g)$ が、SH準同型の分類において果たす役割は何か？
• RQ3 $K(g)$ のクリエスリー圏が、$\mathscr{P}$-代数とそれらのSH準同型の圏に同型となる条件は何か？
• RQ4 この枠組みを、結合的代数および余結合的コールーブレットのパラメータ付きSH準同型へ拡張できるか？また、そのような構造の存在を保証する条件は何か？
• RQ5 結合的操作子 $\mathscr{A}$ の二重側コーゾル分解（すなわち、アレクサンダー＝ホイットニー・コリング）は、この一般コリングおよびクリエスリー圏の枠組みにどのように統合されるか？

主な発見

• コーゾル操作子 $\mathscr{P}$ の二重側コーゾル分解 $K(\mathscr{P})$ は自然に $\mathscr{P}$-コリングをなし、$\mathbf{dgProj}$ 内の $\mathscr{P}$-代数の圏にコモノイドを誘導する。
• $K(\mathscr{P})$ のクリエスリー圏は、$\mathscr{P}$-代数とそれらの strongly homotopy 準同型の圏に同型である。
• $\mathscr{P}_{\infty}$-代数に対して、$\mathbf{\Omega}\mathscr{P}^{\bot}$ の分解 $K'(\mathscr{P})$ は $\mathbf{\Omega}\mathscr{P}^{\bot}$-コリングをなし、そのクリエスリー圏は $\mathscr{P}_{\infty}$-代数とそれらのSH準同型の圏に同型である。
• 標準的準同型 $\mathscr{A}^{\perp} \to \mathbf{B}\mathscr{A}$ に付随するコリングはアレクサンダー＝ホイットニー・コリングであり、これは結合的操作子の二重側コーゾル分解を実現する。
• アサイクル性を用いたフィルトレーション付き部分複体上での準同型の自然な拡張により、結合的代数および余結合的コールーブレットのパラメータ付きSH準同型の一般的存在定理を確立する。
• フィルトレーションの段階ごとの帰納法による写像 $\hat{\tau}$ の構成と、アサイクル分解の使用により、自然性および微分と整合する性質が保証される。