[論文レビュー] Using the internal language of toposes in algebraic geometry

Ingo Blechschmidt|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 100被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、スキームの小さなおよび大きなザリスキトポスにおけるトポスの内部言語を用いた代数幾何学の合成的アプローチを導入する。層を通常の構造（例えば局域環、自由加群）のように扱うことで、定義や証明を単純化する。これは、グロテンディークの一般自由性補題の概念的証明と、加群に関する一般的転送原理の提示によって示される。

ABSTRACT

Any scheme has its associated little and big Zariski toposes. These toposes support an internal mathematical language which closely resembles the usual formal language of mathematics, but is "local on the base scheme": For example, from the internal perspective, the structure sheaf looks like an ordinary local ring (instead of a sheaf of rings with local stalks) and vector bundles look like ordinary free modules (instead of sheaves of modules satisfying a local triviality condition). The translation of internal statements and proofs is facilitated by an easy mechanical procedure. We investigate how the internal language of the little Zariski topos can be exploited to give simpler definitions and more conceptual proofs of the basic notions and observations in algebraic geometry. To this end, we build a dictionary relating internal and external notions and demonstrate its utility by giving a simple proof of Grothendieck's generic freeness lemma in full generality. We also employ this framework to state a general transfer principle which relates modules with their induced quasicoherent sheaves, to study the phenomenon that some properties spread from points to open neighborhoods, and to compare general notions of spectra. We employ the big Zariski topos to set up the foundations of a synthetic account of scheme theory. This account is similar to the synthetic account of differential geometry, but has a distinct algebraic flavor. Central to the theory is the notion of synthetic quasicoherence, which has no analogue in synthetic differential geometry. We also discuss how various common subtoposes of the big Zariski topos can be described from the internal point of view and derive explicit descriptions of the geometric theories which are classified by the fppf and by the surjective topology.

研究の動機と目的

• トポスの内部言語を用いた代数幾何学の合成的枠組みの構築。
• 小さなザリスキトポスにおける内部化によって、代数幾何学の古典的定義と証明の単純化。
• 加群とそれに対応する準連接層の間の一般的転送原理の確立。
• 大きなザリスキトポスを用いたスキーム論の合成的記述の提供、合成的準連接性という新概念の導入。
• 直感的論理とトポス的意味論を用いて、代数幾何学の論理的および圏論的基盤の明確化。

提案手法

• トポスの内部言語を用いて、層を内部的視点から通常の数学的対象（例えば局域環、自由加群）として再解釈する。
• トポス内での直感的論理を用いて、スキームおよびその構造に関する記述を形式化する。
• 論理的妥当性を保ちながら、外部的記述を内部論理に機械的に翻訳する手順を適用する。
• 二重否定やスキーム的密度といったモダリティを用いて、位相的および幾何的性質を特徴付ける。
• 大きなザリスキトポスにおける合成的準連接性を、古典的代数幾何学における準連接性に類似した基礎的概念として定義する。
• 大きなザリスキトポスの内部的視点から、fppfおよび全射トポスの分類される幾何理論を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さなザリスキトポスの内部言語は、代数幾何学の基本的概念の定義と証明をどのように単純化できるか？
• RQ2 内部的視点から見た場合、加群とそれに対応する準連接層の間の正確な関係は何か？
• RQ3 内部言語を用いることで、グロテンディークの一般自由性補題を完全に一般化して証明できるか？
• RQ4 合成的スキーム論において、合成的準連接性の役割は何か？
• RQ5 大きなザリスキトポスの部分トポスは、内部的視点から幾何理論とどのように対応するか？

主な発見

• 小さなザリスキトポスの内部言語により、構造層を通常の局域環、ベクトルバンドルを自由加群として扱えるため、概念的理解が単純化される。
• 二重否定モダリティを用いた内部言語による、グロテンディークの一般自由性補題の新たな、概念的により単純な証明が得られた。
• 内部論理を用いて、加群とそれに対応する誘導された準連接層との間の一般的転送原理が確立された。
• 大きなザリスキトポスは、合成的準連接性を核とするスキーム論の合成的記述を支える。
• fppfおよび全射トポスが、大きなザリスキトポスの内部論理によって明示的に幾何理論として記述された。
• 準コンパクト性、非可約性、スキーム的密度といった位相的性質が、論理的選言と否定を含む内部論理的記述によって特徴づけられた。