[論文レビュー] Wall Crossing Phenomenology of Orientifolds

Daniel Krefl|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 50被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、局所的トーリックCalabi-Yau 3-foldのオルリエンティフォールドに対して、大スケール、オルビフォールド、非可換点における実Donaldson-Thomasの分配関数を導入し、大スケールと非可換／オルビフォールド不変量の間の予想された壁越え関係を確立する。実トポロジカルバーテックス形式を用いて、コンパクト化と$A_n$特異点に対してこれらの不変量を組合せ論的に計算し、ピラミッド分配関数と次数ゼロの寄与の明示的評価により、予想を確認する。

ABSTRACT

We initiate the study of wall crossing phenomena in orientifolds of local toric Calabi-Yau 3-folds from a topological string perspective. For this purpose, we define a notion of real Donaldson-Thomas partition function at the large volume, orbifold and non-commutative point in Kaehler moduli space. As a byproduct, we refine the constant map contribution to the partition function of the real topological string on a local toric background. We conjecture the general relation between the real large volume and real non-commutative/orbifold Donaldson-Thomas partition function of orientifolds of local toric Calabi-Yau 3-folds without compact divisors. The conjectured relation is confirmed at hand of the conifold and local A_n singularity, for which we explicitly derive the real non-commutative/orbifold Donaldson-Thomas partition function combinatorially.

研究の動機と目的

• オルリエンティフォールドにおける壁越え現象を、トポロジカル弦理論の観点から研究を開始すること、特に実Donaldson-Thomas不変量の文脈において。
• 局所的トーリックCalabi-Yau 3-foldのオルリエンティフォールドに対して、Kählerモジュリ空間の大スケール、オルビフォールド、非可換点における実Donaldson-Thomas分配関数を定義し、計算すること。
• コンパクトな除法子が存在しない状況において、実大スケールと実非可換／オルビフォールド分配関数の間の一般的関係を予想し、検証すること。
• 局所的トーリック背景における実トポロジカル弦分配関数の定数写像寄与を精緻化すること。

提案手法

• 局所的トーリックCalabi-Yau 3-foldのオルリエンティフォールドに対して、Kählerモジュリ空間の大スケール、オルビフォールド、非可換点における実Donaldson-Thomas分配関数の概念を導入する。
• 通常のトポロジカルバーテックスを、反正則自己同型を含むように拡張した実トポロジカルバーテックス形式を適用して分配関数を計算する。
• 転送行列法を用いて、実バーテックス演算子を含む相関関数を計算し、分配関数の組合せ論的評価を可能にする。
• 一般化されたMacMahon関数とシュール関数の恒等式を用いて、ピラミッド分配関数の組合せ論的評価により実分配関数を導出する。
• 生成関数と積の恒等式を用いて、次数ゼロの寄与を明示的に評価し、BPS状態の数え上げと整合することを確認する。
• 解明されたコンパクト化と$\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_n \times \mathbb{C}$におけるオルビフォールド点および非可換点での実分配関数の明示的計算により、予想された壁越え関係を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オルリエンティフォールドの局所的トーリックCalabi-Yau 3-foldにおける実Donaldson-Thomas不変量は、壁越えにおいてどのように振る舞うか？
• RQ2 コンパクトな除法子が存在しないオルリエンティフォールドにおいて、実大スケールと実非可換／オルビフォールドDonaldson-Thomas分配関数の正確な関係は何か？
• RQ3 実トポロジカル弦分配関数の定数写像寄与は、オルリエンティフォールド背景で精緻化され、明示的に計算可能か？
• RQ4 実トポロジカルバーテックス形式と転送行列形式は、Kählerモジュリ空間の異なる点における実分配関数を計算するためにどのように一般化されるか？
• RQ5 ピラミッド分配関数などの組合せ論的構造は、オルビフォールド点および非可換点における実Donaldson-Thomas不変量をどのように記述するか？

主な発見

• $n$ が偶数の場合、一般形 (3.27) への代入により、オルビフォールド点における実分配関数が導出され、(C.29) と (C.30)-(C.31) の因子の組み合わせにより確認された。
• 解明されたコンパクト化において、奇数および偶数 $N$ の両方に対して、実非可換分配関数が組合せ論的に計算され、両方のケースで同じ結果 (5.32) を得た。
• $\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{C}$ についても同様に実分配関数が導出され、$N-1$ が偶数および奇数の両ケースにおいて、類似の相関関数評価により (5.47) が得られた。
• 次数ゼロの寄与は明示的に $M(1,q)$ として評価され、他の因子と組み合わせて完全な分配関数が得られた。
• コンパクト化と $A_n$ 特異点において、実大スケールと実非可換／オルビフォールド不変量の間の予想された壁越え関係が、明示的な組合せ論的計算により確認された。
• 定数写像寄与が精緻化され、BPS状態の数え上げと整合的であることが示され、最終的な式において次数ゼロの因子が $M(1,q)$ として現れた。