[論文レビュー] Why certain Tannaka groups attached to abelian varieties are almost connected

Rainer Weissauer|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、アーベル・多様体上の perverse sheaf の畳み込み巾を介して付随する再帰的代数群に関連する Tannaka duality フレームワークを導入する。アーベル多様体に対して、これらの Tannaka 群がほとんど連結であることを証明する。つまり、その可解部分群が自明であり、交差コホモロジー層の構造を通じて、これらの群の表現論と Brill-Noether 理論の深い関係を確立する。

ABSTRACT

We show that for a complex abelian variety X a certain Tannaka group G(X) attached to X is a pro-reductive group whose group of connected components is abelian, and hence isomorphic to the etale pro-finite abelian fundamental group of the dual abelian variety of X.

研究の動機と目的

• 曲線の Brill-Noether 理論を、 perverse sheaf の畳み込み巾を用いた、アーベル多様体上の層的および群論的道具を用いて、高次元多様体へと拡張すること。
• アーベル多様体 $ \operatorname{Alb}(Y) $ 上の perverse sheaf のテンソルカテゴリから、代数閉体 $ \Lambda $ 上の再帰的 Tannaka 群 $ G(Y, y_0) $ を定義すること。
• 畳み込み巾の構造と一般化消失定理の分析を通じて、これらの Tannaka 群がほとんど連結である、すなわちその可解部分群が自明であることを示すこと。
• 群 $ G(Y, y_0) $ の基本的表現と、$ \mathcal{IC}_{W_i(Y)} $ として与えられる非可約 perverse sheaf 間の対応を確立し、古典的 Brill-Noether 異常点を回復すること。

提案手法

• アーベル多様体 $ X = \operatorname{Alb}(Y) $ 上の直接像複体 $ K = Rf_* (IC_Y) $ を構成する。ここで $ f: Y \to X $ はアーベル写像である。
• 群法則を用いて定義される畳み込み積 $ * $ において、$ M * N = R a_* (M \boxtimes N) $ とし、$ K \oplus K^\vee $ の繰り返し畳み込み巾を形成する。
• これらの畳み込み巾の perverse 成分から生成されるテンソルカテゴリに Tannaka duality を適用し、$ \Lambda $ 上の再帰的群 $ G(Y, y_0) $ を構成する。
• 一般化消失定理と分解定理を用いて、 perverse sheaf の深さと台を分析し、$ G(Y, y_0) $ の構造を制御する。
• 同種写像と基底変換を用いて、$ X = A \times B $ の場合に還元し、層の分解とコホモロジー的境界の制御を可能にする。
• ハード・リーマンの定理と双対性を適用し、畳み込み積におけるコホモロジー的シフトを制約し、非ゼロの成分が無視できない層から生じることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線の古典的 Brill-Noether 理論を、層論的および群論的道具を用いて、高次元多様体へどのように一般化できるか？
• RQ2 アーベル多様体上の perverse sheaf の畳み込みを通じて付随する滑らかで射影的多様体 $ Y $ に対して、Tannaka 群 $ G(Y, y_0) $ の構造は何か？
• RQ3 なぜ Tannaka 群 $ G(Y, y_0) $ はほとんど連結であるのか、すなわちその可解部分群が自明なのか？
• RQ4 $ G(Y, y_0) $ の基本的表現とアーベル多様体内の Brill-Noether 異常点 $ W_i(Y) $ の間にはどのような対応があるか？

主な発見

• 複素数体 $ \mathbb{C} $ もしくは有限体上の滑らかで射影的な多様体 $ Y $ に対して、付随する Tannaka 群 $ G(Y, y_0) $ はほとんど連結であり、その可解部分群は自明である。
• 滑らかで双曲的でない曲線 $ Y $ の genus が $ g $ のとき、Tannaka 群は $ \mathrm{SL}(2g-2) $ であり、$ i = 1, \dots, g-1 $ に対して、非可約 perverse sheaf $ \mathcal{IC}_{W_i(Y)} $ に対応する $ g-1 $ 個の基本的表現を持つ。
• $ i $ 畳み込み巾 $ \delta_Y * \cdots * \delta_Y $ の非可約 perverse 成分には $ \mathcal{IC}_{W_i(Y)} $ が含まれており、これらはテンソルカテゴリにおける単純成分として回復される。
• 分解定理と一般化消失定理によるコホモロジー的境界は、非ゼロの畳み込み成分が無視できない層から生じることを示唆し、可能なコホモロジー的シフトを制限する。
• 清浄で半単純な perverse sheaf $ P $ の畳み込み積 $ T = P * P^\vee $ は半単純であり、その単純成分 $ T_\nu \cong P_\nu[-m_\nu] $ は $ -\operatorname{depth}(P_\nu) < m_\nu < \operatorname{depth}(P_\nu) $ を満たす。この不等式は Tannaka 群の構造を制約する。
• $ Rf_*(K_\chi) \neq 0 $ となるある特徴 $ \chi $ の存在を証明するには、$ X = A \times B $ の積構造に還元し、$ K $ がテンソル積に分解できることと、$ H^\bullet(A, K_{A,\chi}) $ のオイラー数の非消失性を用いる。