[論文レビュー] Witten deformation for Hamiltonian loop group spaces, I

Yiannis Loizides, Yanli Song|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$K\ltimes\Gamma$-作用をもつ非コンパクト多様体上のスピン-c ディラック作用素に対して、Fredholm性を確立する。ここで $K$ はコンパクトで $\Gamma$ は離散的である。ハミルトニアン・ループ群空間にこれを適用することで、インデックスペアリング $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$ が最大トーラス $T$ の表現環の形式的完成 $R^{-\infty}(T)$ に属することを示し、アフィンワイル群による作用で反対称性を示し、ループ群の射影的正エネルギー表現の環の元として同定する。

ABSTRACT

We prove a Fredholm property for spin-c Dirac operators $\mathsf{D}$ on non-compact manifolds satisfying a certain condition with respect to the action of a semi-direct product group $K\ltimes \Gamma$, with $K$ compact and $\Gamma$ discrete. We apply this result to an example coming from the theory of Hamiltonian loop group spaces. In this context we prove that a certain index pairing $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$ yields an element of the formal completion $R^{-\infty}(T)$ of the representation ring of a maximal torus $T \subset G$; the resulting element has an additional antisymmetry property under the action of the affine Weyl group, indicating $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$ corresponds to an element of the ring of projective positive energy representations of the loop group.

研究の動機と目的

• 特定の群作用の下で非コンパクト多様体上のスピン-c ディラック作用素に対してFredholm性を確立すること。
• ハミルトニアン・ループ群空間の文脈において、インデックスペアリング $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$ を分析すること。
• 得られるインデックスが最大トーラス $T$ の表現環の形式的完成 $R^{-\infty}(T)$ に属することを示すこと。
• アフィンワイル群による作用の下でインデックスが示す反対称性を証明すること。
• インデックスペアリングがループ群の射影的正エネルギー表現の環の元として同定されること。

提案手法

• 非コンパクト多様体上のスピン-c ディラック作用素のスペクトル性質を分析するために、Witten変形技術を用いる。
• コンパクトな $K$ と離散的である $\Gamma$ の半直積作用 $K\ltimes\Gamma$ をもつ多様体にFredholm性を適用する。
• K理論におけるクラス $[\mathcal{X}]$ とディラック作用素のクラス $[\mathsf{D}]$ を用いて、インデックスペアリング $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$ を構成する。
• アフィンワイル群による作用の下でのインデックスの変換性を分析し、反対称性を明らかにする。
• 無限次元表現の文脈において、形式的完成 $R^{-\infty}(T)$ を用いて表現を扱う。
• 非コンパクト空間における等置K理論およびインデックス理論からの幾何学的・解析的技術を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン-c ディラック作用素が、$K\ltimes\Gamma$-作用をもつ非コンパクト多様体上で、どのような条件下でFredholm性を満たすか？
• RQ2 ハミルトニアン・ループ群空間の文脈において、インデックスペアリング $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$ はどのように振る舞うか？
• RQ3 得られるインデックスが最大トーラスの表現環の形式的完成 $R^{-\infty}(T)$ にどの程度まで属するか？
• RQ4 アフィンワイル群による作用の下でインデックスが示す対称性の性質は何か？
• RQ5 インデックスペアリングがループ群の射影的正エネルギー表現の環の元として解釈可能か？

主な発見

• スピン-c ディラック作用素 $\mathsf{D}$ は、指定された $K\ltimes\Gamma$-作用をもつ非コンパクト多様体上でFredholm性を満たす。
• インデックスペアリング $[\mathcal{X}] \cap [\mathsf{D}]$ が最大トーラス $T$ の表現環の形式的完成 $R^{-\infty}(T)$ の元であることが示された。
• インデックスはアフィンワイル群による作用の下で非自明な反対称性を示す。
• この反対称性は、インデックスがループ群の射影的正エネルギー表現の環のwell-definedな元に対応することを示唆する。
• この構成により、非コンパクト多様体上のインデックス理論を用いて、このような表現の幾何学的・解析的実現が得られる。
• 結果として、Witten変形技術の適用範囲がハミルトニアン・ループ群空間および無限次元表現理論へ拡張された。