[論文レビュー] Witten's D_4 Integrable Hierarchies Conjecture

Huijun Fan, Amanda Francis+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特定の対称性群を備えたD4およびその双対DT4 Landau-Ginzburg軌道の全子孫生成関数が、D4 Kac-Wakimoto/Drinfeld-Sokolov可積分階層のτ関数であることを証明する。著者らは、Wittenの可積分階層予想の残りの最終的な未解決事例を、WDVV方程式と重要な七点相関関数の代数幾何的計算を用いた新規再構成法により克服することで、ADE特異点におけるWittenの可積分階層予想を完全に解決した。この七点相関関数は2/27で非ゼロであることが示された。

ABSTRACT

We prove that the total descendant potential functions of the theory of Fan-Jarvis-Ruan-Witten for D_4 with symmetry group and D_4^T with symmetry group G_{max}, respectively, are both tau-functions of the D_4 Kac-Wakimoto/Drinfeld-Sokolov hierarchy. This completes the proof, begun in [FJR], of the Witten Integrable Hierarchies Conjecture for all simple (ADE) singularities.

研究の動機と目的

• すべての単純ADE特異点におけるWittenの可積分階層予想の完全な証明を、残りのD4およびDT4ケースを解決することによって達成すること。
• D4およびDT4のFan-Jarvis-Ruan-Witten理論における全子孫生成関数が、D4 Kac-Wakimoto/Drinfeld-Sokolov階層のτ関数であることを確立すること。
• 標準的な代数幾何的還元に失敗する、広義の挿入を含む特別な四点相関関数を計算する技術的課題を克服すること。
• D4理論における唯一の七点一次相関関数が非ゼロであることを示し、階層構造の非自明性を確認すること。

提案手法

• 三点相関関数および特別な四点相関関数から、全Fan-Jarvis-Ruan-Witten理論を再構成する定理の使用。
• WDVV方程式を用いて、特別な四点相関関数の非ゼロ性と唯一の七点相関関数の非ゼロ性を関連付ける。
• 安定曲線のモジュライ空間における除数の交点理論を用いた、生成関数の種数ゼロ一次生成関数の代数幾何的計算。
• 「尾を無視する写像」を用いたκ2、ψi、境界除数類のプッシュバックを通じた七点相関関数の明示的計算。
• Carel FaberのMAPLEおよびDrew JohnsonのSAGEコードを用いて、Mg,n上の除数類の交点数を計算する。
• WDVV関係式への代入とその後の四次単項式和の数値積分により、七点相関関数の非ゼロ性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D4特異点と対称性群⟨J⟩を備えた全子孫生成関数は、D4 Kac-Wakimoto/Drinfeld-Sokolov階層のτ関数か？
• RQ2 双対DT4特異点と対称性群Gmaxを備えた全子孫生成関数は、同じ階層のτ関数か？
• RQ3 標準的な代数幾何的還元に失敗する、広義の挿入を含む特別な四点相関関数はどのように計算できるか？
• RQ4 D4理論における唯一の七点一次相関関数の値は何か？また、それはゼロか非ゼロか？
• RQ5 WDVV方程式と除数類の交点理論を用いて、この七点相関関数の非ゼロ性を厳密に確立できるか？

主な発見

• 対称性群⟨J⟩を備えたD4の全子孫生成関数は、D4 Kac-Wakimoto/Drinfeld-Sokolov階層のτ関数である。
• 対称性群Gmaxを備えたDT4の全子孫生成関数は、同じD4階層のτ関数である。
• D4理論における重要な特別な四点相関関数はゼロではなく、階層構造にとって不可欠である。
• D4理論における唯一の七点一次相関関数は2/27に計算され、非ゼロであることが確認され、解の非自明性が裏付けられた。
• 七点相関関数の非ゼロ性は、WDVV方程式と除数類および交点理論を用いた代数幾何的計算により確立された。
• SAGEおよびMAPLEの両方の計算は一貫した結果を示し、七点相関関数の値が2/27であることを確認した。