[論文レビュー] Yangian actions on higher level irreducible integrable modules of affine gl(N)

Denis Uglov|ArXiv.org|Feb 9, 1998

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Drinfeld双対性と退化した二重アフィンヘッケ代数表現からの半無限極限を用いて、レベルが1より大きいアフィンgl(N)の既約的で可解な最高重層モジュール上に、gl(N)のヤンギアン作用を構成する。真空モジュールは、半無限の斜めヤング図で添え字づけられた既約ヤンギアン部分表現に分解され、sl(N)-ヤンギアン生成子の明示的公式が与えられる。

ABSTRACT

An action of the Yangian of the general Lie algebra gl(N) is defined on every irreducible integrable highest weight module of affine gl(N) with level greater than 1. This action is derived, by means of the Drinfeld duality and a subsequent semi-infinite limit, from a certain induced representation of the degenerate double affine Hecke algebra H. Each vacuum module of affine gl(N) is decomposed into irreducible Yangian subrepresentations by means of the intertwiners of H. Components of this decomposition are parameterized by semi-infinite skew Young diagrams.

研究の動機と目的

• レベル>1のアフィンgl(N)の既約的で可解な最高重層モジュール上にヤンギアン作用を定義すること。
• 退化した二重アフィンヘッケ代数（DAHA）とアフィンgl(N)表現との間の関係を、半無限極限を介して確立すること。
• アフィンgl(N)の真空モジュールを、既約ヤンギアン部分表現に分解すること。
• これらの部分表現を半無限の斜めヤング図を用いてパラメトライズすること。
• sl(N)-ヤンギアン生成子を、標準的なgl(N)ˆ生成子の言語で表現すること。

提案手法

• 退化した二重アフィンヘッケ代数の表現とアフィンgl(N)モジュールとの間の関係を確立するために、Drinfeld双対性を用いる。
• 退化したDAHAからアフィンgl(N)モジュールへの表現の上昇を、半無限極限構成を用いて行う。
• この双対性と極限手続きを介して、既約的で可解なモジュール上にヤンギアン作用を構成する。
• 退化したDAHAのインターヴァリアントを用いて、真空モジュールを既約ヤンギアン部分表現に分解する。
• 分解の各成分を表すために、半無限の斜めヤング図を組合せ論的パラメトライズに用いる。
• sl(N)-ヤンギアン生成子の明示的表現を、標準的なgl(N)ˆ代数生成子の言語で導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 gl(N)のヤンギアンは、レベルが1より大きいアフィンgl(N)の既約的で可解なモジュール上でどのように実現可能か？
• RQ2 退化した二重アフィンヘッケ代数は、アフィンgl(N)モジュール上のヤンギアン作用を構成する際に果たす役割は何か？
• RQ3 アフィンgl(N)の真空モジュールはヤンギアン作用の下でどのように分解されるか？
• RQ4 既約ヤンギアン部分表現の成分をパラメトライズする組合せ論的対象は何か？
• RQ5 sl(N)-ヤンギアン生成子は、標準的なgl(N)ˆ生成子の言語でどのように明示的に表現できるか？

主な発見

• レベルが1より大きいアフィンgl(N)のすべての既約的で可解な最高重層モジュール上に、gl(N)のヤンギアン作用が明示的に構成された。
• 真空モジュールの既約ヤンギアン部分表現への分解は、退化した二重アフィンヘッケ代数のインターヴァリアントを用いて達成された。
• 分解の各成分は半無限の斜めヤング図によってパラメトライズされ、組合せ論的分類が得られた。
• sl(N)-ヤンギアン作用の生成子について、標準的なgl(N)ˆ生成子の言語で明示的公式が導出された。
• この構成はDrinfeld双対性と半無限極限に依拠しており、DAHAとアフィンリー代数表現理論との間に深い関係を確立した。
• この方法により、アフィンgl(N)の高レベルモジュール上にヤンギアン対称性を体系的に実現するフレームワークが提供された。