[논문 리뷰] A hierarchic multi-level energy method for the control of bi-diagonal and mixed n-coupled cascade systems of PDE's by a reduced number of controls

Fatiha Alabau‐Boussouira|2014. 01. 28.

Stability and Controllability of Differential EquationsEngineering인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 n개의 연관된 이중대각선 및 혼합 연쇄 구조 PDE 시스템을 줄어든 수의 제어를 사용하여 정확한 제어 가능성을 달성하기 위해 계층적 다수준 에너지 방법을 제안한다. 부분 강력 조건 하에서 타원형, 열, 슈뢰딩거 시스템에 대해 관측 가능성과 제어 가능성을 확립하며, 차원이 2보다 클 경우 n ≤ 5, 1차원에서는 임의의 n ≥ 2에 대해 영 제어 가능성을 입증한다. 이는 제어 영역과 결합 영역이 서로 이격되어 있을 경우에도 성립한다.

ABSTRACT

This work is concerned with the exact controllability/observability of abstract cascade hyperbolic systems by a reduced number of controls/observations. We prove that the observation of the last component of the vector state allows to recover the initial energies of all of its components in suitable functional spaces under a necessary and sufficient condition on the coupling operators for cascade bi-diagonal systems. The approach is based on a multi-level energy method which involves $n$-levels of weakened energies. We establish this result for the case of bounded as well as unbounded dual control operators and under the hypotheses of partial coercivity of the $n-1$ coupling operators on the sub-diagonal of the system. We further extend our observability result to mixed bi-diagonal and non bi-diagonal $n+p$-coupled cascade systems by $p+1$ observations. Applying the HUM method, we derive the corresponding exact controllability results for $n$-coupled bi-diagonal cascade and $n+p$-coupled mixed cascade systems. Using the transmutation method for the wave operator, we prove that the corresponding heat (resp. Schrödinger) multi-dimensional cascade systems are null-controllable for control regions and coupling regions which are disjoint from each other and for any positive time for $n \le 5$ for dimensions larger than $2$, and for any $n \ge 2$ in the one-dimensional case. The controls can be localized on a subdomain or on the boundary and in the one-dimensional case the coupling coefficients can be supported in any non-empty subset of the domain.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 연쇄 구조 PDE 시스템을 최소한의 제어로 제어하는 데 도전하는 것. 이는 공학 및 물리학 분야에서 실용적이고 비용 효율적인 응용에 기인한다.
• 단지 p+1개의 관측 또는 제어를 사용하여 이중대각선 및 혼합 n+p-결합 연쇄 시스템의 정확한 관측 가능성과 제어 가능성에 필요한 필수 조건과 충분 조건을 확립하는 것.
• 제어 영역와 결합 영역이 이격되어 있을 경우에도, 파라볼릭(열) 및 분산(슈뢰딩거) 시스템으로까지 제어 가능성 결과를 확장하는 것.
• 모든 n 단계에서 에너지 추정치를 체계적으로 약화시켜 마지막 성분의 관측만으로 전체 초기 에너지를 복원할 수 있는 새로운 다수준 에너지 방법을 개발하는 것.

제안 방법

• n단계의 약화된 에너지 추정치를 포함하는 계층적 다수준 에너지 방법을 구성하여, 이중대각선 시스템에서 마지막 성분으로부터의 관측 가능성에서 모든 성분으로 전파되도록 한다.
• 결합 연산자의 하삼각선에 대한 구조를 활용한 재귀적 에너지 감쇠 추론을 사용하며, 부분 강력 조건을 가정한다.
• 관측 가능성 추정치는 HUM 방법을 사용하여 유도되며, 제어 문제를 쌍대 시스템에 대한 관측 가능성 부등식으로 변환한다.
• 파라볼릭 및 슈뢰딩거 시스템의 경우, 파동 연산자에 대해 전이법(Transmutation method)을 적용하여 초파동의 경우에서의 제어 가능성 결과를 전이한다.
• 유도법을 사용하여 첫 n+q개 방정식의 관측 가능성 추정치를 전체 n+p 시스템으로 확장하며, 추가적인 비이중대각선 결합을 포함한다.
• 이 방법은 유계 및 비유계 제어 연산자 모두를 처리하며, 제어 영역와 결합 영역이 이격되어 있을 경우에도 적용 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n개의 연관된 이중대각선 연쇄 구조 PDE 시스템에 대해, 마지막 성분만 관측하고 단일 제어를 사용하여 정확한 제어 가능성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 결합 연산자에 어떤 조건이 성립하면, 마지막 성분의 관측이 모든 성분의 전체 초기 에너지를 복원할 수 있는가?
• RQ3 p+1개의 관측을 사용하여, 이중대각선 및 비이중대각선 혼합 n+p-결합 시스템의 관측 가능성과 제어 가능성 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ4 제어 영역와 결합 영역이 이격되어 있을 경우, 열 및 슈뢰딩거 시스템의 영 제어 가능성이 가능한가?
• RQ5 다차원 설정에서 제어 영역와 결합 영역이 이격되어 있을 경우, 영 제어 가능성이 유지되는 성분 수 n의 최대값은 얼마인가?

주요 결과

• 이중대각선 연쇄 구조 PDE 시스템에 대해, 결합 연산자의 필요 및 충분 조건 하에서 마지막 성분만 관측하고 단일 제어를 사용하여 정확한 제어 가능성을 달성한다.
• 이 방법은 마지막 성분의 관측이 부분 강력 조건이 있는 결합 연산자 하에서도 적절한 함수 공간에서 전체 초기 에너지를 복원할 수 있음을 입증한다.
• 1차원에서는 임의의 n ≥ 2, 다차원에서는 n ≤ 5에 대해 제어 영역와 결합 영역이 이격되어 있을 경우에도 다차원 열 및 슈뢰딩거 시스템의 영 제어 가능성이 확립된다.
• 전이법은 파동 방정식에서 열 및 슈뢰딩거 방정식으로 제어 가능성 결과를 성공적으로 전이하며, 임의의 양의 시간에 대해 영 제어 가능성을 유지한다.
• 이 방법은 제어를 부분 도메인 또는 경계에 국한시킬 수 있으며, 1차원에서는 결합 계수를 도메인의 공집합이 아닌 임의의 부분집합에만 지원할 수 있다.
• 재귀적 유도법을 통해 첫 n+q 성분의 추정치를 확장하여 전체 시스템에 대해 p+1개의 관측을 사용한 혼합 n+p-결합 시스템의 관측 가능성을 확립한다.