[논문 리뷰] A quantum algorithm to count weighted ground states of classical spin Hamiltonians

Bhuvanesh Sundar, Roger Paredes외 3명|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 05.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고전 스핀 해밀토니안의 가중치가 부여된 최저 에너지 상태를 세는 데 위해 수정된 단열 양자 최적화(AQO)와 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)을 제안한다. 최저 에너지 상태의 가중치가 작을 경우, 최종 양자 상태를 재가중하여 중요도 샘플링을 수행함으로써, 고전적 최적 몽테카를로 시뮬레이션(OMCS)에 비해 제곱근 이하의 양자 속도 향상을 달성한다. 이는 NISQ 장치에서 조합 최적화 문제에 대한 양자 우월성 확보의 길을 열어준다.

ABSTRACT

Ground state counting plays an important role in several applications in science and engineering, from estimating residual entropy in physical systems, to bounding engineering reliability and solving combinatorial counting problems. While quantum algorithms such as adiabatic quantum optimization (AQO) and quantum approximate optimization (QAOA) can minimize Hamiltonians, they are inadequate for counting ground states. We modify AQO and QAOA to count the ground states of arbitrary classical spin Hamiltonians, including counting ground states with arbitrary nonnegative weights attached to them. As a concrete example, we show how our method can be used to count the weighted fraction of edge covers on graphs, with user-specified confidence on the relative error of the weighted count, in the asymptotic limit of large graphs. We find the asymptotic computational time complexity of our algorithms, via analytical predictions for AQO and numerical calculations for QAOA, and compare with the classical optimal Monte Carlo algorithm (OMCS), as well as a modified Grover's algorithm. We show that for large problem instances with small weights on the ground states, AQO does not have a quantum speedup over OMCS for a fixed error and confidence, but QAOA has a sub-quadratic speedup on a broad class of numerically simulated problems. Our work is an important step in approaching general ground-state counting problems beyond those that can be solved with Grover's algorithm. It offers algorithms that can employ noisy intermediate-scale quantum devices for solving ground state counting problems on small instances, which can help in identifying more problem classes with quantum speedups.

연구 동기 및 목표

• 통계역학, 공학 신뢰성, 조합 최적화 등 다양한 분야에서 필수적인 고전 스핀 해밀토니안의 최저 에너지 상태 수를 세는 데 오랫동안 해결되지 않은 과제를 해결하기 위해.
• AQO와 QAOA를 최저 에너지 상태의 최소화를 넘어서, 사용자가 지정한 상대 오차 신뢰도를 갖는 가중 최저 에너지 상태 수의 정확한 추정을 가능하게 하기 위해 확장하기 위해.
• 근접한 노이즈가 있는 중규모 양자(NISQ) 장치에서 조합 문제의 수 계산에 대해 양자 속도 향상이 가능함을 보여주기 위해.
• 제안된 양자 알고리즘의 渐近 시간 복잡도를 고전적 최적 몽테카를로 시뮬레이션(OMCS) 및 그로버 기반 방법과 비교하기 위해.
• 최저 에너지 상태의 총 가중치가 작을 경우 QAOA가 고전적 알고리즘에 비해 제곱근 이하의 속도 향상을 보이는 조건을 규명하기 위해.

제안 방법

• 각 고전적 최저 에너지 상태의 가중치에 비례하는 최종 양자 상태의 진폭을 보장하기 위해, 비균일한 초기 상태와 특화된 해밀토니안 진동을 도입함으로써 AQO와 QAOA를 수정한다.
• 최종 상태의 진폭이 최저 에너지 상태들에 대한 원하는 가중치 분포를 정확히 반영하도록 하기 위해, QAOA의 변분 매개변수 검색을 통해 각각의 각도 αj와 βj를 최적화한다.
• 최종 상태를 반복적으로 실행하여 샘플링하는 통계적 추정 기법을 구현함으로써, 최종 상태의 샘플을 통해 최저 에너지 상태의 총 가중치를 추정한다.
• 모서리 커버 수 계산의 경우, 최저 에너지 상태가 유효한 모서리 커버에 대응하는 고전적 이징 유사 해밀토니안으로 문제를 매핑하고, 매개변수 q를 통해 가중치를 할당한다.
• 알고리즘의 진동 시간과 필요한 샘플링 반복 횟수를 고려하여, AQO의 경우 분석적으로, QAOA의 경우 수치적으로 시간 복잡도를 분석한다.
• 양자 상태 준비가 효율적인 수 계산에 사용될 수 있도록, 수정된 그로버 오라클 프레임워크를 도입하여 진폭 추정을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 AQO와 QAOA는 단지 하나의 최저 에너지 상태를 찾는 데서 넘어서, 임의의 고전 스핀 해밀토니안의 가중 최저 에너지 상태 수를 추정하는 데에 적합하게 수정될 수 있는가?
• RQ2 총 최저 에너지 상태 가중치가 작을 경우, 수정된 QAOA는 고전적 최적 몽테카를로 시뮬레이션(OMCS)에 비해 양자 속도 향상을 달성하는가?
• RQ3 수정된 AQO와 QAOA 알고리즘의 渐近 시간 스케일링은 어떻게 되며, 고전적 방법 및 그로버 기반 방법과 비교해 볼 때 어떤가?
• RQ4 QAOA는 어떤 조건에서 최저 에너지 상태의 총 가중치를 추정할 때 제곱근 이하의 속도 향상을 보이는가?
• RQ5 제안된 알고리즘은 현재의 NISQ 장치에서 실행 가능할 수 있으며, 변분 매개변수 검색에 필요한 자원 요구사항은 무엇인가?

주요 결과

• 고정된 상대 오차와 신뢰도에서, 선형 스케줄을 사용한 AQO는 고전적 OMCS에 비해 양자 속도 향상을 제공하지 못한다. 그 이유는 시간 스케일링이 OMCS보다 느리기 때문이다.
• 최저 에너지 상태의 총 가중치가 작을 경우, QAOA는 고전적 OMCS에 비해 제곱근 이하의 속도 향상을 달성한다. 이는 T_QAOA ∼ 1/√P 의 스케일링에 해당하며, 여기서 P는 최저 에너지 상태의 총 가중치이다.
• 변분 매개변수 검색과 수 추정 단계의 오버헤드를 포함하더라도, QAOA의 총 계산 시간은 OMCS의 것보다 渐近적으로 작다.
• 수치 시뮬레이션은 랜덤 그래프와 다양한 가중치 매개변수에 대해 QAOA가 T_QAOA에서 제곱근 이하의 속도 향상을 보임을 확인하며, 일반 그래프에 대해 제곱근 이하 스케일링의 기대를 뒷받침한다.
• 이 방법은 각 최저 에너지 상태의 가중치 비례 확률로 중요도 샘플링을 가능하게 하여, 공학 및 물리 시스템에서 제약 조건이 있는 샘플링과 수 계산에 적합하다.
• 기존의 양자 수 계산 알고리즘으로는 효율적으로 해결할 수 없는 광범위한 #P-난이도 수 계산 문제에 적용 가능하며, 이는 새로운 방식의 양자 우월성 확보 가능성을 열어준다.