[논문 리뷰] A theoretical investigation of Brockett's ensemble optimal control problems

Jan Bartsch, Alfio Borzı̀외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 26.

Stability and Controllability of Differential EquationsEngineering참고 문헌 25인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 비유계 이동 계수를 가진 리우빌 방정식에 의해 지배되는 브로켓의 앙상블 최적 제어 문제에 대해 엄밀한 이론적 프레임워크를 수립한다. 가중 카우치 스펙트럼 공간에서 잘 정의됨을 증명하고, 최적 제어의 존재성과 유일성을 보장하며, $L^2$, $H^1$, $L^1$ 제어 비용을 포함한 비연속 제어 문제에 대한 최적성 시스템을 유도한다.

ABSTRACT

This paper is devoted to the analysis of problems of optimal control of ensembles governed by the Liouville (or continuity) equation. The formulation and study of these problems have been put forward in recent years by R.W. Brockett, with the motivation that ensemble control may provide a more general and robust control framework. Following Brockett's formulation of ensemble control, a Liouville equation with unbounded drift function, and a class of cost functionals that include tracking of ensembles and different control costs is considered. For the theoretical investigation of the resulting optimal control problems, a well-posedness theory in weighted Sobolev spaces is presented for the Liouville and transport equations. Then, a class of non-smooth optimal control problems governed by the Liouville equation is formulated and existence of optimal controls is proved. Furthermore, optimal controls are characterised as solutions to optimality systems; such a characterisation is the key to get (under suitable assumptions) also uniqueness of optimal controls.

연구 동기 및 목표

• 앙상블 제어에서 발생하는 비유계 이동 계수를 가진 리우빌 방정식에 대한 잘 정의된 이론 체계를 개발하기 위해.
• 제어-상태 사상의 연속성과 프레셰 미분 가능성을 보장하기 위해, 가중 카우치 스펙트럼 공간으로 존재성 및 유일성 결과를 확장하기 위해.
• 다양한 비용 함수형식을 포함한 비연속 최적 제어 문제를 설정하고 분석하기 위해, $L^2$, $H^1$, $L^1$ 제어 비용을 포함한다.
• 박스 제어 제약 조건을 통합하고, 일阶 최적성 시스템을 통해 최적 제어를 특성화하기 위해.
• 이동 계수와 비용 함수형식에 대한 적절한 가정 하에 최적 제어의 존재성과 유일성을 확립하기 위해.

제안 방법

• 제어 계수에 의존하는 이동 계수를 가진 리우빌 방정식에 의해 지배되는 앙상블 최적 제어 문제를 수립하라: $a(t,x;u,v) = \overline{a} + \overline{b}u(t) + \overline{c}v(t)x$.
• 디페르나-라이언스 이론을 적용하여, $x$에 대해 최대 선형 성장 조건을 만족하는 이동 계수에 대해 $H^m$ 공간에서 잘 정의됨을 입증하라.
• 비유계 계수를 다룰 수 있도록 가중 카우치 스펙트럼 공간 $H^m_k$로 잘 정의됨 프레임워크를 확장하여 제어-상태 사상의 정규성을 보장하라.
• 모리파이어와 시간 정규화를 활용한 근사 기법을 사용하여 시간에 의존하는 이동 계수와 밀도를 다루라.
• 비연속 비용 함수형식에 대해 변분법과 수반 방법을 적용하여 일阶 최적성 시스템을 도출하라.
• 적절한 경계 및 초기 조건을 갖는 전진(리우빌) 및 후진(수반) 편미분방정식의 연립 시스템으로서 최적 제어를 특성화하라.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유계 이동 계수를 가진 리우빌 방정식이 가중 카우치 스펙트럼 공간에서 어떻게 유일한 해를 가지는가?
• RQ2 비유계 계수를 가진 앙상블 제어의 맥락에서 제어-상태 사상이 연속적이고 프레셰 미분 가능함을 어떻게 입증할 수 있는가?
• RQ3 비연속 앙상블 최적 제어 문제에서 최적 제어의 존재성과 유일성을 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 $L^2$, $H^1$, $L^1$ 제어 비용 함수형식의 차이가 최적성 시스템의 구조와 성질에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 박스 제약 조건을 이론적 프레임워크에 통합하면서도 최적 해의 존재성과 유일성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 이동 계수의 $x$에 대한 최대 선형 성장 조건과 함께, 이동 계수의 적분 가능성 및 정규성 조건 하에, 가중 카우치 스펙트럼 공간 $H^m_k$에서 리우빌 방정식의 잘 정의됨이 입증된다.
• 제어-상태 사상 $G: (u,v) \mapsto \rho$ 가 가중 카우치 스펙트럼 프레임워크에서 연속적이고 프레셰 미분 가능함이 입증되어 변분 분석이 가능해진다.
• 비연속 최적 제어 문제에 대해 $L^2$, $H^1$, $L^1$ 제어 비용과 박스 제약 조건을 포함한 최적 제어의 존재성이 입증된다.
• 비용 함수형식과 이동 계수에 대한 적절한 볼록성 및 정규성 가정 하에 최적 제어의 유일성이 확립된다.
• 최적 제어는 전진 리우빌 방정식과 수반 후진 방정식으로 구성된 최적성 방정식의 연립 시스템의 해로 특성화된다.
• 모리파이어와 시간 정규화를 포함한 근사 수열의 수렴성이 엄밀히 입증되어 이론적 프레임워크의 안정성과 일致성을 보장한다.