[논문 리뷰] A variant of the linear isotropic indeterminate couple stress model with symmetric local force-stress, symmetric nonlocal force-stress, symmetric couple-stresses and complete traction boundary conditions

Ionel‐Dumitrel Ghiba, Patrizio Neff외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 03.

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures참고 문헌 69인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 국소적 및 비국소적 힘-응력 텐서, 쌍극-응력, 완전한 표면력 경계 조건을 강제하는 선형 등방성 미결정성 쌍극 응력 모델의 대칭형을 제안한다. 해의 존재성과 유일성을 증명하고, 장방정식을 변화시키지 않은 채 대칭 응력으로 재구성할 수 있음을 보이며, 이는 경계 조건에서만 다름을 보이고, 변형률과 회전장 사이의 새로운 적분 가능 조건이 존재한다.

ABSTRACT

In this paper we venture a new look at the linear isotropic indeterminate couple stress model in the general framework of second gradient elasticity and we propose a new alternative formulation which obeys Cauchy-Boltzmann's axiom of the symmetry of the force stress tensor. For this model we prove the existence of solutions for the equilibrium problem. Relations with other gradient elastic theories and the possibility to switch from a {4th order} (gradient elastic) problem to a 2nd order micromorphic model are also discussed with a view of obtaining symmetric force-stress tensors. It is shown that the indeterminate couple stress model can be written entirely with symmetric force-stress and symmetric couple-stress. The difference of the alternative models rests in specifying traction boundary conditions of either rotational type or strain type. If rotational type boundary conditions are used in the partial integration, the classical anti-symmetric nonlocal force stress tensor formulation is obtained. Otherwise, the difference in both formulations is only a divergence--free second order stress field such that the field equations are the same, but the traction boundary conditions are different. For these results we employ a novel integrability condition, connecting the infinitesimal continuum rotation and the infinitesimal continuum strain. Moreover, we provide the complete, consistent traction boundary conditions for both models.

연구 동기 및 목표

• 기존의 미결정성 쌍극 응력 모델에서 발생하는 모순을 해결하기 위해 국소적 및 비국소적 힘-응력 텐서의 대칭성을 강제한다.
• 선형 등방성 미결정성 쌍극 응력 모델에 대해 대칭 응력과 함께 수학적으로 잘 정의된 공식화를 수립한다.
• 비국소적 힘-응력 텐서의 구조를 결정짓는 표면력 경계 조건의 역할을 명확히 한다.
• 새로운 대칭 공식화와 고전적 공식화 사이의 등가성을 증명한다. 이는 발산이 없는 응력 장이 존재하는 범위에서만 다름을 보인다.
• 대칭 및 반대칭 응력 공식화 모두에 대해 일관되고 물리적으로 해석 가능한 표면력 경계 조건을 제공한다.

제안 방법

• 이동의 기울기 ∇u의 대칭 부분과 그 코일 Curl(sym∇u)을 사용하여 에너지 함수를 정의함으로써 국소적 및 비국소적 힘-응력 텐서의 대칭성을 보장한다.
• 미소 회전(axl(skew∇u))과 변형률 장(sym∇u) 사이의 새로운 적분 가능 조건을 도입하여 일관된 대칭 응력 정의를 가능하게 한다.
• Curl(sym∇u) 공식화에서 완전한 경계값 문제를 유도하여 비국소적 힘-응력 텐서와 대칭 쌍극-응력 텐서를 보장한다.
• 가상일 원리를 적용하여 약한 형태를 유도하고, 소볼레프 공간에서 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 새로운 대칭 공식화와 고전적 ∇[axl(skew∇u)] 공식화를 비교하여, 두 공식화의 유일한 차이는 표면력 경계 조건과 발산이 없는 두 번째 순서 응력 장임을 보여준다.
• 4차 경사 탄성 모델과 2차 미크로모르픽 모델 간의 등가성을 입증하여, 후자의 경우 경계 조건이 명확해지고 대칭 응력 텐서가 자연스럽게 강제됨을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 미결정성 쌍극 응력 모델은 국소적 및 비국소적 힘-응력 텐서의 대칭성을 유지하면서도 동일한 장방정식을 유지할 수 있도록 재구성할 수 있는가?
• RQ2 2차 경사 탄성에서 대칭 힘-응력 공식화에 대해 일관된 표면력 경계 조건은 무엇인가?
• RQ3 다른 경계 조건(역행성 대비 변형률 유형)은 미결정성 쌍극 응력 모델에서 비국소적 힘-응력 텐서의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 변형률과 회전 사이의 적분 가능 조건이 대칭 응력 공식화를 가능하게 하는 데서 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 4차 경사 탄성 모델은 대칭 응력과 투명한 경계 조건을 갖는 2차 미크로모르픽 모델로 등가적으로 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 모델은 국소적 및 비국소적 힘-응력 텐서와 쌍극-응력의 대칭성을 보장하며, 카우치-볼츠만의 원리를 만족한다.
• 새로운 대칭 공식화와 고전적 반대칭 공식화 사이의 장방정식은 동일하며, 유일한 차이는 표면력 경계 조건에 있다.
• 두 공식화 간의 차이는 발산이 없는 두 번째 순서 응력 장이며, 이는 평형 방정식에 영향을 주지 않는다.
• 소볼레프 공간에서 변분 방법을 사용하여 새로운 대칭 공식화에 대해 해의 존재성과 유일성을 엄밀히 증명하였다.
• 모델은 등가적으로 2차 미크로모르픽 모델로 재구성할 수 있으며, 이 경우 경계 조건이 명확해지고 대칭 응력 텐서가 자연스럽게 강제된다.
• 일관된 표면력 경계 조건은 대칭 Curl(sym∇u) 공식화와 고전적 ∇[axl(skew∇u)] 공식화 모두에 대해 완전히 유도되었으며, 오랫동안 애매시되어 온 문제를 해결하였다.