[논문 리뷰] Derivation of a non-objective Oldroyd model from the Boltzmann equation

Alexander J. Wagner|arXiv (Cornell University)|2001. 05. 03.

Lattice Boltzmann Simulation Studies참고 문헌 1인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 큰 비례 시간 동안 기체의 버울츠만 방정식에 대한 BGK 근사에서 비객체적 점탄성 구성방정식을 유도하며, 관성 효과가 물체적 응력 반응을 방해함을 보여준다. 이 모델은 파 стать성과 음의 첫 번째 정규응력 차이를 예측하며, 이는 입자 속도 분포의 동역학적 비대칭성에 기인한 운동량 수송 비대칭성 때문이며, 단순 비틀림 및 팽창 유동에 대해 정확한 해를 제공한다.

ABSTRACT

I calculate the hydrodynamic limit of the BGK approximation of the Boltzmann equation for the case of a long stress relaxation time and find that the stress obeys a viscoelastic constitutive equation. The constitutive equation is different from standard constitutive equations used for polymeric liquids in that it is not ``objective'' because inertial effects are important. I calculate the exact solution for the stresses for simple shear flow and elongational flow.

연구 동기 및 목표

• 장수명 비례 시간에서 유체역학적 극한에서 BGK-Boltzmann 방정식을 사용하여 기체의 점탄성 구성방정식을 유도하는 것.
• 고무성 액체와는 다름없이 운동량 수송 비대칭성을 중심으로 기체에서의 비뉴턴 거동의 기원을 규명하는 것.
• 기본적인 고무성 모델과 달리 상당한 관성 기여로 인해 유도된 모델이 비객체적임을 보여주는 것.
• 유도된 구성방정식에 따라 단순 비틀림 및 팽창 유동에서 응력에 대한 정확한 해석적 해를 제공하는 것.
• 기체에서 음의 첫 번째 정규응력 차이가 발생하는 물리적 기원을 설명하는 것 — 고무성 액체에서의 양의 값과는 정반대임.

제안 방법

• 국소 맥클라우지언-볼츠만 평형 상태로 향하는 단일 비례 시간을 가정하여 버울츠만 방정식에 BGK 근사를 적용하는 것.
• 밀도, 운동량, 에너지의 유체역학적 모멘트를 계산하여 비평형 응력 텐서를 포함한 연속성 및 운동량 방정식을 유도하는 것.
• BGK 비례 항을 사용하여 응력 텐서를 평형 및 비대각선 비평형 부분으로 분해하는 것.
• 큰 비례 시간 τ를 가진 유체역학적 극한을 사용하여 응력 텐서 σαβ에 대한 점탄성 구성방정식을 유도하는 것.
• 유도된 방정식을 단순 비틀림 유동(u_y = ˙ε y) 및 팽창 유동(u_x = ˙ε x, u_y = -˙ε y)에 대해 정확히 풀어 닫힌 형태의 응력 표현식을 도출하는 것.
• 유도 과정의 타당성을 검증하기 위해 Zwanzig의 BGK-Boltzmann 방정식에 대한 단순 비틀림 유동에서의 해석적 해와 결과를 비교하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 BGK-Boltzmann 방정식은 장수명 비례 시간에서 유체역학적 극한에서 어떻게 비객체적 점탄성 구성방정식을 유도하는가?
• RQ2 유도된 모델은 고무성 액체와는 반대로 기체에서 음의 첫 번째 정규응력 차이를 예측하는가? 그 이유는 무엇인가?
• RQ3 기체에서의 점성 감소는 어떤 기원을 가지며, 고무성 액체에서의 메커니즘과 어떻게 다를까?
• RQ4 이 모델 하에서 단순 비틀림 및 팽창 유동에 대해 응력에 대한 정확한 해석적 해를 도출할 수 있는가?
• RQ5 관성 효과는 이 기반 점탄성 모델에서 어떻게 물체적 응력 반응 가정을 무효화하는가?

주요 결과

• 유도된 구성방정식은 관성 효과를 생략할 수 없기 때문에 비객체적임을 보여주며, 이는 표준 고무성 모델과의 주요 차이점이다.
• 단순 비틀림 유동에서 모델은 Zwanzig의 BGK-Boltzmann 방정식에 대한 정확한 해를 재현하여 유도 과정의 타당성을 검증한다.
• 첫 번째 정규응력 차이는 음수이며, 이는 흐름 방향의 벽에 작용하는 힘을 감소시킴을 나타내며, 고무성 액체와는 정반대이다.
• 비대칭적인 입자 속도 분포로 인한 y방향에서의 x운동량 수송 감소로 인해 점성 감소가 발생한다.
• 팽창 유동에서의 응력에 대한 정확한 해를 도출하였으며, 작은 변형률에서 응력은 변형률률의 제곱에 비례함을 보였다.
• 간단한 열조절 장치를 사용할 경우 물리적으로 비합리한 발산 현상이 나타나며, 이는 일정 온도 조건이 음의 확률 기여를 유도할 수 있음을 시사하며, 따라서 물리적으로 비현실적임을 나타낸다.