[논문 리뷰] Exact solution for the Lindbladian dynamics for the open XX spin chain with boundary dissipation

Kohei Yamanaka, Tomohiro Sasamoto|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 23.

Quantum many-body systems참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 제3의 양자화 방법을 사용하여 경계에서의 소산이 있는 개방계 XX 스핀 체인에서 자화 및 스핀 전류의 시간 진화에 대한 정확한 해석적 해를 제시한다. 리드블라디안 동역학을 비에르미트적 $N\times N$ 행렬의 대각화로 매핑함으로써, 저자들은 경계 효과의 빛원추 전파로 인해 발생하는 짧은 시간 동안의 플랫폼 영역과 리우빌리안 갭에 의해 지배되는 장기적으로 $O(N^{-3})$ 감쇠가 일어나는 정상 상태로의 감쇠를 드러내는 정확한 공식을 유도한다. 이 감쇠 계수는 해석적으로 완전히 결정되어 있다.

ABSTRACT

We obtain exact formulas for the time-dependence of a few physical observables for the open XX spin chain with Lindbladian dynamics. Our analysis is based on the fact that the Lindblad equation for an arbitrary open quadratic system of $N$ fermions is explicitly solved in terms of diagonalization of a $4N imes4N$ matrix called structure matrix by following the scheme of the third quantization. We mainly focus on the time-dependence of magnetization and spin current. As a short-time behavior at a given site, we observe the plateau regime except near the center of the chain. Basic features of this are explained by the light-cone structure created by propagations of boundary effects from the initial time, but we can explain their more detailed properties analytically using our exact formulas. On the other hand, after the plateau regime, the magnetization and spin current exhibit a slow decay to the steady state values described by the Liouvillian gap. We analytically establish its $O(N^{-3})$ scaling and also determine its coefficient.

연구 동기 및 목표

• 개방 양자 스핀 체인에서 리드블리안 동역학 하에 물리적 관측량의 정확한 시간 의존 공식을 유도하는 것.
• 특히 경계에 기인한 빛원추 효과로 인해 발생하는 플랫폼 영역의 등장과 같은 짧은 시간 동역학을 분석하는 것.
• 정상 상태로 향하는 장기적 감쇠 행동의 해석적 결정, 특히 리우빌리안 갭 스케일링에 초점을 맞추는 것.
• 비에르미트적 구조 행렬을 가진 2차 형식의 개방 페르미온계에 제3의 양자화 방법이 효과적으로 적용될 수 있음을 보여주는 것.
• 베셀 함수 전개와 안장점 근사법을 사용하여 자화 및 스핀 전류에 대한 명시적 해석적 표현을 제공하는 것.

제안 방법

• 존슨-바이거 변환을 통해 개방 XX 스핀 체인의 리드블라드 방정식을 2차 페르미온계로 매핑한다.
• 문제는 제3의 양자화 방법을 통해 해결되며, 이는 $4N\times 4N$의 구조 행렬의 대각화로 귀결되며, 이후 $N\times N$ 비에르미트적 행렬로 단순화된다.
• 리우빌리안-포크 공간에서의 경로 적분과 생성 함수를 사용하여 자화 및 스핀 전류의 정확한 시간 의존 공식을 유도한다.
• 장기적 행동을 이해하기 위해 안장점 근사를 통한 점근적 분석을 적용하여, 특히 $O(N^{-3})$ 감쇠 스케일링을 다룬다.
• 시간 진화 함수를 표현하기 위해 베셀 함수 표현을 사용하여 해석적 및 수치적 평가가 가능하게 한다.
• 경계에 국한된 모드를 고려하여, 이들이 연구된 관측량에 미치는 기여가 무시할 만큼 작다는 것을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계 소산이 있는 개방 XX 스핀 체인에서 자화 및 스위치 전류의 정확한 시간 진화는 무엇인가?
• RQ2 경계 효과는 체인을 통해 어떻게 전파되며, 짧은 시간 동역학에서 관측된 플랫폼 영역은 무엇으로 인해 발생하는가?
• RQ3 리우빌리안 갭의 해석적 형태는 무엇이며, 시스템 크기 $N$에 따라 어떻게 스케일링되는가?
• RQ4 제3의 양자화 방법은 개방 2차 페르미온계에서 정확한 시간 의존 관측량을 유도하는 데 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ5 국소화된 경계 모드는 자화 및 전류와 같은 부스러기 관측량의 동역학에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 짧은 시간 동역학에서 경계 효과의 빛원추 전파로 인해 체인 중심 부근을 제외한 자화 및 스위치 전류에 플랫폼 영역이 나타난다.
• 플랫폼 영역는 경로 적분과 베셀 함수 전개로부터 유도된 정확한 공식을 통해 해석적으로 설명된다.
• 플랫폼 이후 자화 및 스위치 전류는 느리게 정상 상태로 감쇠되며, 감쇠율은 $O(N^{-3})$ 스케일링을 따른다.
• 이 $O(N^{-3})$ 스케일링의 계수는 리우빌리안 스펙트럼의 점근적 분석을 통해 해석적으로 결정되었으며 확인되었다.
• 장기적 행동는 리우빌리안 갭에 의해 지배되며, 이 갭은 $O(N^{-3})$로 스케일링되며 비에르미트적 행렬의 구조에서 유도된 정확한 계수를 가진다.
• 이 방법은 $4N\times 4N$ 리우빌리안 문제를 $N\times N$ 비에르미트적 행렬로 성공적으로 단순화하여 물리적 관측량에 대한 정확한 해석적 해를 가능하게 한다.