[논문 리뷰] Expansion of Multiple Stratonovich Stochastic Integrals of Fifth Multiplicity, Based on Generalized Multiple Fourier Series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용하여 다중 스트라토노비치 확률적 적분의 다섯 번째 차수를 위한 새로운 전개 방법을 제시한다. 이토 적분에 비해 스트라토노비치 적분이 더 단순한 구조를 지닌다는 점을 활용함으로써, 타일러-스트라토노비치 전개를 통한 확률미분방정식의 보다 효율적인 수치적 적분이 가능해진다.

ABSTRACT

This article is devoted to the expansion of multiple Stratonovich stochastic integrals of fifth multiplicity, based on the method of generalized multiple Fourier series. We consider the expansion of multiple Ito stochastic integrals of fifth multiplicity (based on generalized multiple Fourier series) as the tool of the proof of the expansion for multiple Stratonovich stochastic integrals. As it turned out, expansions of multiple Stratonovich stochastic integrals are essentially simpler than expansions of multiple Ito stochastic integrals. The multiple Stratonovich stochastic integrals are the part of the Taylor-Stratonovich expansion. That is why the results of the article can be useful for numerical integrations of Ito or Stratonovich stochastic differential equations.

연구 동기 및 목표

• 다섯 번째 차수의 다중 스트라토노비치 확률적 적분을 위한 효율적인 전개 방법을 개발하는 것.
• 이토 적분에 비해 스트라토노비치 적분의 더 단순한 구조를 활용하여 보다 효과적인 전개 기법을 개발하는 것.
• 향상된 타일러-스트라토노비치 전개를 통해 이토 및 스트라토노비치 확률미분방정식의 수치적 적분을 지원하는 것.
• 다중 확률적 적분에 일반화된 푸리에 급수 방법을 확장하여 고차수 수치적 방법의 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 전개의 핵심 분석 프레임워크로 일반화된 다중 푸리에 급수를 사용한다.
• 다섯 번째 차수의 다중 이토 적분의 전개를 스트라토노비치 적분의 전개를 증명하는 수단으로 활용한다.
• 다중 스트라토노비치 적분을 푸리에 계수의 형태로 표현하기 위해 정규직교 전개를 적용한다.
• 이토 적분과 스트라토노비치 적분 간의 관계를 활용하여 스트라토노비치 경우의 더 단순한 형태를 유도한다.
• 수렴성과 수치적 안정성을 보장하기 위해 전개 과정에서 정규직교 체계를 활용한다.
• 다섯 번째 차수의 적분에 관련된 푸리에 계수에 대한 명시적 표현을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 푸리에 급수를 사용하여 다섯 번째 차수의 다중 스트라토노비치 확률적 적분을 어떻게 전개할 수 있는가?
• RQ2 전개 복잡성 측면에서 스트라토노비치 적분의 구조적 단순성은 이토 적분에 비해 어떤 이점을 제공하는가?
• RQ3 다섯 번째 차수의 이토 적분 전개를 스트라토노비치 적분의 전개를 유도하는 데 유효한 도구로 사용할 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 확률미분방정식의 수치적 적분을 어느 정도 향상시키는가?
• RQ5 일반화된 다중 푸리에 급수는 고차수 확률적 적분의 표현을 단순화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 다섯 번째 차수의 다중 스트라토노비치 확률적 적분은 일반화된 다중 푸리에 급수를 효과적으로 전개할 수 있다.
• 스트라토노비치 적분의 전개가 이토 적분의 전개보다 본질적으로 더 단순한 이유는 그들의 구조적 특성 때문이다.
• 이 방법은 이토 적분 전개를 증명 수단으로 활용하여 스트라토노비치 적분에 대한 접근 방식의 타당성을 입증한다.
• 유도된 전개는 확률미분방정식의 타일러-스트라토노비치 전개에 직접적으로 적용 가능하다.
• 결과는 고차수 수치적 방법을 구성하기 위한 기초를 제공한다.
• 일반화된 푸리에 급수의 사용은 수렴성을 보장하며, 적분의 실용적 수치적 구현을 가능하게 한다.