[논문 리뷰] Foundations of negative imaginary systems theory and relations with positive real systems

Augusto Ferrante, Alexander Lanzon외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 18.

Piezoelectric Actuators and Control참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 연속시간 및 이산시간 영역에서 비유리 음의 상호이미지(Non-rational Negative Imaginary, NI) 시스템에 대한 기초 이론을 수립하며, 유리 전이 함수를 넘어서 NI 이론을 일반화한다. 이 논문은 이산시간 NI 시스템을 최초로 도입하고, 엄격한 NI 시스템의 여러 개념을 정의하며, 이산시간 NI 보조정리(lemma)를 사용한 상호연결의 안정성 조건을 유도함으로써, NI 이론과 양의 실수(positive real) 시스템 이론을 동일한 분석 프레임워크 아래 통합한다.

ABSTRACT

In this paper we lay the foundations of a not necessarily rational negative imaginary systems theory and its relations with positive real systems theory and, hence, with passivity. In analogy with the theory of positive real functions, in our general framework, negative imaginary systems are defined in terms of a domain of analyticity of the transfer function and of a sign condition that must be satisfied in such domain. In this way, on the one hand, our theory does not require to restrict the attention to systems with rational transfer function and, on the other hand | just by suitably selecting the domain of analyticity to be either the right half complex plane or the complement of the unit disc in the complex plane | we particularize our theory to both continuous-time and to discrete-time systems. Indeed, to the best of our knowledge, this is first time that discrete-time negative imaginary systems are studied in the literature. In this work, we also aim to provide a unitary view of the different notions that have appeared so far in the literature within the framework of positive real and in the more recent theory of negative imaginary systems, and to show how these notions are characterized and linked to each other. A stability analysis result for the interconnection of discrete-time systems is also derived.

연구 동기 및 목표

• 연속시간 및 이산시간 시스템에 모두 적용 가능한 일반적이고 비유리적인 음의 상호이미지 시스템 이론의 프레임워크를 개발하는 것.
• 기존 표준 정의를 초월하여 엄격한 음의 상호이미지 시스템의 여러 개념을 정의하고 특성화하는 것.
• 기존 문헌에서 존재하지 않았던 바탕으로, 이산시간 음의 상호이미지 시스템의 개념을 최초로 도입하는 것.
• 이산시간 음의 상호이미지 보조정리와 상호연결된 시스템에 대한 안정성 분석 결과를 수립하는 것.
• 동일한 분석 프레임워크를 통해 음의 상호이미지 시스템 이론과 양의 실수 시스템 이론을 통합하는 것.

제안 방법

• 전이 함수 행렬의 허수부에 대한 부호 조건과 해석적 정의 영역을 통해 음의 상호이미지 시스템을 정의한다.
• 연속시간 시스템은 오른쪽 반평면, 이산시간 시스템은 단위원 외부를 사용하여 NI 성질을 일반화한다.
• 스펙트럼 성질에 기반한 D-SSNI, D-WSNI, D-NI 등의 다양한 엄격한 NI 시스템 정의를 도입한다.
• 선형 행렬 부등식(LMI)을 사용하여 완전한 상태공간 특성화를 제공하는 이산시간 음의 상호이미지 보조정리를 유도한다.
• 상호연결 분석을 위해 Redheffer 별곱을 적용하고 안정성 조건을 도출한다.
• 이중선형 변환을 사용하여 이산시간 NI 시스템을 연속시간 시스템과 연결하고 기존의 안정성 결과를 이전한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유리적이고 일반적인 프레임워크에서 음의 상호이미지 시스템은 어떻게 정의할 수 있는가? 이는 연속시간 및 이산시간 시스템에 모두 적용 가능해야 한다.
• RQ2 기존 표준 정의를 초월하여 엄격한 음의 상호이미지 시스템의 적절한 일반화는 무엇인가?
• RQ3 기존 문헌에서 이러한 이론이 존재하지 않았음에도 불구하고, 이산시간 음의 상호이미지 시스템은 어떻게 공식적으로 정의하고 특성화할 수 있는가?
• RQ4 이산시간 음의 상호이미지 시스템과 양의 실수 시스템 사이의 관계는 무엇이며, 이는 연속시간 대응체와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 이산시간 음의 상호이미지 시스템의 상호연결을 지배하는 안정성 조건은 무엇이며, 상태공간 표현으로부터 어떻게 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 단위원 외부에서의 해석성과 전이 함수의 허수부에 대한 부호 조건을 사용하여, 이산시간 음의 상호이미지 시스템에 대한 최초의 공식적 정의를 도입한다.
• 기존의 고전적 NI 프레임워크를 확장하기 위해 D-SSNI, D-WSNI, D-NI 등의 엄격한 음의 상호이미지 시스템의 여러 개념을 정의하고 특성화한다.
• 선형 행렬 부등식(LMI)을 통해 완전한 상태공간 특성화를 제공하는 이산시간 음의 상호이미지 보조정리가 도출된다.
• 이산시간 음의 상호이미지 시스템과 약간의 엄격한 음의 상호이미지 시스템의 상호연결에 대한 안정성 조건이 확립되며, 스펙트럼 반경에서 P(1)Q(1) < 1 이라는 조건이 필요하다.
• 이론은 해석적 정의 영역이 두 경우를 구분하는 바탕으로, 연속시간 및 이산시간 NI 시스템을 하나의 분석 프레임워크 아래 통합한다.
• 이전 연구를 일반화하여 NI 이론을 유리적이고 유한차원 시스템을 초월하여 확장하고, 양의 실수 시스템 이론과의 연결을 수립한다.