[논문 리뷰] Four New Forms of the Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich Expansions and its Application to the High-Order Strong Numerical Methods for Ito Stochastic Differential Equations

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 47인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이토 스토케스틱 미분 방정식을 위한 네 가지 새로운 통합 형태의 테일러–이토 및 테일러–스트라토니비치 전개를 소개하며, 필요한 반복 스토케스틱 적분의 수를 최소화한다. 다중성 6까지의 일반화된 다중 푸리에–레지온드르 급수를 활용하여, 수렴 차수 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0인 고차수 강한 수치적 방법을 유도함으로써, 비교적 비선형성의 소음을 갖는 SDE의 정확한 수치 시뮬레이션에 필수적인 복잡한 스토케스틱 적분의 효율적인 평균 제곱 근사가 가능해진다.

ABSTRACT

The problem of the Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions of the Ito stochastic processes in a neighborhood of a fixed moment of time is considered. The classical forms of the Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions are transformed to the four new representations, which includes the minimal sets of different types of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals. Therefore, these representations (the so-called unified Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions) are more convenient for constructing of high-order strong numerical methods for Ito stochastic differential equations. Explicit one-step strong numerical schemes with the orders of convergence 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, and 3.0 based on the unified Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions are derived. Effective mean-square approximations of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals from these numerical schemes are constructed on the base of the multiple Fourier-Legendre series with multiplicities 1 to 6.

연구 동기 및 목표

• 비교적 비선형성의 소음을 갖는 이토 SDE를 위한 고차수 강한 수치적 방법에서 반복 이토 및 스트라토니비치 스토케스틱 적분에 대한 효율적인 평균 제곱 근사 방법의 부족을 해결하기 위해.
• 고전적 테일러–이토 및 테일러–스트라토니비치 전개의 복잡성을 줄이기 위해 필요한 서로 다른 반복 스토케스틱 적분의 수를 최소화하기 위해.
• 고차수 강한 수치적 방법의 구현을 단순화하기 위한 통합 전개를 개발하기 위해.
• 다중성 1에서 6까지의 일반화된 다중 푸리에–레지온드르 급수를 사용하여 반복 스토케스틱 적분의 엄밀한 평균 제곱 근사를 제공하기 위해.
• 통합된 방법의 타당성을 검증하기 위해 수렴 분석과 Wong–Zakai 근사 이론과의 연결 고리를 제공하기 위해.

제안 방법

• 반복 이토 스토케스틱 적분의 집합을 최소화하도록 고전적 전개를 재구성하여 두 가지 새로운 통합 형태의 테일러–이토 전개를 유도하기 위해.
• 반복 스트라토니비치 적분에 대해 유사한 최소화 전략을 적용하여 두 가지 새로운 통합 형태의 테일러–스트라토니비치 전개를 개발하기 위해.
• 통합 전개에 기반한 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0 차수의 명시적 일단계 강한 수치적 방법을 구성하기 위해.
• 다중성 1에서 6까지의 일반화된 다중 푸리에–레지온드르 급수를 사용하여 반복 스토케스틱 적분의 효과적인 평균 제곱 근사를 달성하기 위해.
• 푸리에 급수 기반 근사가 진짜 스토케스틱 적분으로 수렴하는 것을 보장하기 위해 Wong–Zakai 근사 프레임워크를 적용하기 위해.
• 위너 과정 증분의 푸리에 급수 전개의 평균 제곱 근사 및 l.i.m. (평균 제곱에서의 극한) 수렴에 관한 정리들을 통해 이론적 수렴성을 확립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차수 수치적 방법을 위한 필요로 하는 서로 다른 반복 스토케스틱 적분의 수를 최소화하기 위해 고전적 테일러–이토 및 테일러–스트라토니비치 전개를 어떻게 재구성할 수 있는가?
• RQ2 고차수 강한 수치적 방법의 효율적 구현을 가능하게 하는 최적의 통합 테일러–이토 및 테일러–스트라토니비치 전개의 구조는 무엇인가?
• RQ3 다중성 6까지의 일반화된 다중 푸리에–레지온드르 급수는 반복 이토 및 스트라토니비치 스토케스틱 적분에 대해 효과적이고 안정적인 평균 제곱 근사를 제공할 수 있는가?
• RQ4 고차수 강한 수치적 통합의 맥락에서, 제안된 통합 전개 방식은 고전적 형태에 비해 효율성과 정확도에서 어떻게 비교되는가?
• RQ5 스토케스틱 적분의 푸리에 급수 근사는 평균 제곱 의미에서 얼마나 수렴하는가? 그리고 Wong–Zakai 근사와의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 논문은 반복 이토 스토케스틱 적분에 필요한 최소한의 집합을 사용하는 두 가지 새로운 통합 형태의 테일러–이토 전개를 성공적으로 도출하여 수치적 구현을 단순화하였다.
• 유사하게 반복 스트라토니비치 적분에 필요한 수를 최소화하는 두 가지 새로운 통합 형태의 테일러–스트라토니비치 전개가 도입되었다.
• 통합 전개에 기반한 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0 차수의 명시적 일단계 강한 수치적 방법이 구성되어, 이토 SDE의 고정밀 시뮬레이션을 가능하게 하였다.
• 다중성 1에서 6까지의 일반화된 다중 푸리에–레지온드르 급수를 사용하여 반복 이토 및 스트라토니비치 스토케스틱 적분의 효과적인 평균 제곱 근사가 달성되었다.
• l.i.m. 수렴을 통한 이론적 수렴성이 확립되었으며, Wong–Zakai 근사와 연결된 정리들을 통해 엄밀한 정당화가 이루어졌다.
• 결과는 제안된 근사가 표준 이토–스트라토니비치 관계와 일치하며, 비교적 비선형성의 소음을 갖는 SDE에 대해 정확한 수치적 해를 도출함을 확인하였다.