[논문 리뷰] Partial actions of C*-quantum groups I: Restriction and Globalization

Franziska Kraken, Paula Quast외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 20.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 C*-quantum 군의 부분(coaction)을 C*-대수 위에 도입하고, 특히 C*-대수가 슬라이스 맵 성질을 갖는 경우, 최소 전역화(coaction, globalization)의 존재를 확립한다. 주요 기여는 C*-quantum 군의 임베딩 가능하고 약한 연속성과 정규성을 만족하는 부분 coaction에 대해 유일하고 최소 전역화의 구조적 증명을 제공하는 것으로, 히프 대수의 전역화 이론을 C*-quantum 군 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

Partial actions of groups on C*-algebras and the closely related actions and coactions of Hopf algebras received much attention over the last decades. They arise naturally as restrictions of their global counterparts to non-invariant subalgebras, and the ambient eveloping global (co)actions have proven useful for the study of associated crossed products. In this article, we introduce the partial coactions of C*-bialgebras, focussing on C*-quantum, and prove existence of an enveloping global coaction under mild technical assumptions. The construction of the latter provides a left adjoint to the forgetful functor from coactions to partial coactions. We also show that partial coactions of the function algebra of a discrete group correspond to partial actions on direct summands of a C*-algebra, and relate partial coactions of a compact or its dual discrete C*-quantum group to partial coactions or partial actions of the dense Hopf subalgebra.

연구 동기 및 목표

• C*-quantum 군의 맥락에서 전역 coaction의 전역화 이론을 전역 coaction에서 부분 coaction으로 확장한다.
• C*-quantum 군의 부분 coaction이 최소이고 고유한 전역화를 갖는 조건을 설정한다.
• 이산 군의 함수 대수 위의 부분 coaction이 C*-대수의 직접 합성분 위의 부분 작용과 어떻게 관련되는지 밝힌다.
• 콤���트 또는 이산 C*-quantum 군의 부분 coaction이 그의 밀도 있는 히프 부분대수의 부분 coaction 또는 작용과 어떻게 연결되는지 설명한다.
• 전역 coaction의 제한을 통해 유도되는 기본적인 예시—양자 베르누이 이동—을 구성함으로써 부분 coaction의 범주에서의 초기성(initiality)을 보여준다.

제안 방법

• 특히 C*-quantum 군인 C*-bialgebra의 부분 coaction의 개념을 도입하여, 부분 작용과 coaction을 일반화한다.
• 부분 coaction의 약한 연속성, 강한 연속성, 정규성, 그리고 단사성과 같은 핵심 개념을 정의한다.
• C*-quantum 군의 대수의 슬라이스 맵 성질을 활용하여 전역화를 구성하는 데 발생하는 기술적 과제를 극복한다.
• 전역화를 보편 성질을 통해 구성하여, 부분 coaction을 전역 형태로 확장하는 최소 확장(minimal dilation)을 정의한다.
• 모든 최소 확장이 구성된 전역 객체를 유일하게 통과한다는 것을 보여, 전역화의 고유성을 동형 사상에 대해 증명한다.
• 이론을 적용하여 전역 coaction의 제한을 통해 양자 베르누이 이동을 구성하고, 이는 부분 coaction의 표준적인 예시로 기능한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 C*-quantum 군의 부분 coaction이 최소 전역화를 갖는가?
• RQ2 이산 군 $\Gamma$ 위의 함수 대수 $C_0(\Gamma)$의 부분 coaction은 C*-대수의 직접 합성분 위의 부분 작용과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 콤팩트 C*-quantum 군의 부분 coaction과 그의 밀도 있는 히프 대수인 행렬 계수의 부분 coaction 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 모든 단사적이고 정규적인 C*-quantum 군의 부분 coaction은 전역 coaction에 임베딩될 수 있으며, 만약 그렇다면 그 임베딩은 고유한가?
• RQ5 슬라이스 맵 성질은 전역화 구성의 존재성과 고유성 보장에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 슬라이스 맵 성질을 갖는 C*-quantum 군의 모든 단사적, 약한 연속성, 정규 부분 coaction은 최소 전역화를 갖는다.
• 전역화는 동형 사상에 대해 고유하며, 모든 최소 확장은 구성된 전역 객체를 유일하게 통과한다.
• 이산 군 $\Gamma$ 위의 함수 대수 $C_0(\Gamma)$의 부분 coaction은 C*-대수의 직접 합성분 위의 부분 작용과 정확히 일치한다.
• 이산 C*-quantum 군의 경우, 모든 부분 coaction은 쌍대 콤팩트 양자 군의 행렬 계수 히프 대수의 부분 작용을 유도한다.
• 양자 베르누이 이동은 전역 coaction의 제한을 통해 부분 coaction으로 구성되며, 부분 coaction의 범주에서의 초기성(initiality)을 갖는다.
• 모든 최소 확장에서 구성된 전역화로의 사상은 전사적이며, 양자 군이 C*-quantum 군일 경우 동형 사상이 되어 전역성의 완전성을 보장한다.