[논문 리뷰] Piecewise structure of Lyapunov functions and densely checked decrease conditions for hybrid systems

Matteo Della Rossa, Rafal Goebel외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 02.

Stability and Controllability of Differential EquationsEngineering참고 문헌 43인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 하이브리드 동역계에 대해 조각별로 구조화되고 국소 리프시츠인 라플라스 함수의 클래스를 제안하며, 흐름 집합의 조밀한 부분집합에서만 라플라스 감소 조건을 검증함으로써 미분 가능하지 않은 점에서의 점별 검사를 피할 수 있도록 안정성 분석을 가능하게 한다. 주요 기여는 클라크 일반화된 기울기 조건의 더 덜 엄격한 대안을 제공하는 것으로, 표준 조건이 경계에서 실패할 경우에도 효과적임을 입증한다.

ABSTRACT

We propose a class of locally Lipschitz functions with piecewise structure for use as Lyapunov functions for hybrid dynamical systems. Subject to some regularity of the dynamics, we show that Lyapunov inequalities can be checked only on a dense set and thus we avoid checking them at points of nondifferentiability of the Lyapunov function. Connections to other classes of locally Lipschitz or piecewise regular functions are also discussed and applications to hybrid dynamical systems are included.

연구 동기 및 목표

• 하이브리드 시스템을 위한 국소 리프시츠 라플라스 함수의 클래스를 개발하기 위해.
• 흐름 집합 C의 조밀한 부분집합에서만 라플라스 감소 조건을 검증함으로써, 비가속성 점을 피하는 안정성 검증을 가능하게 하기 위해.
• 전통적인 클라크 기울기 기반 접근 방식보다 덜 엄격한 안정성 조건을 제공하기 위해.
• 이러한 함수를 사용하여 하이브리드 시스템에서 균일 전역 점근적 안정성(UGAS)을 위한 충분조건을 수립하기 위해.
• 2차원 시스템에 대해 비볼록 및 볼록 라플라스 함수의 명시적 구성 방법을 제시하기 위해.

제안 방법

• 연속 미분 가능한 함수들의 점별 최대값 및 최소값으로 구성된 국소 리프시츠 함수의 클래스를 도입하며, 이는 조각별 이차형식을 일반화한다.
• 역동성 F에 대한 정규성 조건 하에, 라플라스 감소 부등식은 흐름 집합 C의 조밀한 부분집합에서만 검증되어야 한다는 것을 확립한다.
• 비가속성 행동을 분석하고 조밀한 검사 조건을 뒷받침하기 위해 정규화 및 콘볼루션 기법을 사용한다.
• C에서 흐름이 발생하고 D에서 점프가 발생하는 하이브리드 시스템에 이 프레임워크를 적용하며, C에서의 조밀한 검사 조건과 D에서의 표준 점프 조건을 결합한다.
• 기존 조건들과의 비교를 위해 역행 라플라스 정리와 클라크 일반화된 기울기의 성질에 의존한다.
• 명시적 예제를 구성한다: 두 개의 정의되지 않은 이차형식의 최대값, 세 개의 이차형식의 중간값, 그리고 접선 선분을 사용한 패치를 통한 볼록화된 형태.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 흐름 집합의 조밀한 부분집합에서만 라플라스 감소 조건을 검증할 수 있으며, 비가속성 점을 피할 수 있는가?
• RQ2 제안된 조건은 클라크 일반화된 기울기 조건보다 얼마나 엄격한가?
• RQ3 이 방법은 비연속 동역계와 상태에 따라 스위칭이 발생하는 하이브리드 시스템에 적용 가능한가?
• RQ4 비볼록 및 볼록 라플라스 함수를 조밀한 검사 조건을 만족하도록 구성할 수 있는가?
• RQ5 흐름 집합의 경계에서 라플라스 함수를 패치할 수 있으며, 클라크 조건에 의존하지 않고도 안정성 검증을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 라플라스 함수는 흐름 집합 C의 조밀한 부분집합에서만 감소 조건을 검증함으로써 비가속성 점을 우회함으로써 안정성 검증이 가능하다.
• 클라크 기울기 기반 접근 방식보다 더 덜 엄격한 조건을 도출하며, 특히 표준 조건이 경계에서 실패할 경우에도 효과적이다.
• ε=0.1인 2차원 시스템에서, V_M, V_mid, V_conv 세 가지로 구성된 라플라스 함수 모두 코로나리 1의 조건을 만족하여 원점의 UGAS를 증명한다.
• 클라크 조건이 C의 경계인 x₁=0 선에서 실패하더라도, 제안된 방법은 여전히 UGAS를 확립하며 경계 문제에 대한 강건성을 보여준다.
• 볼록 라플라스 함수 V_conv는 V_mid를 경계에서 접선을 갖는 이차형식으로 패치하여 연속성을 확보하고 조밀한 검사 조건을 만족하도록 구성된다.
• 결과적으로, 경계에서의 직관적 패치 기법이 클라크 조건에 의존하지 않고도 검증 가능하며, 문헌에서 알려진 한계를 해결함을 보여준다.