[논문 리뷰] Predators-Prey models with competition Part.1 : Existence, Bifurcation and qualitative properties

Henri Berestycki, Alessandro Zilio|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 05.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 18인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 상호 예속자 간 경쟁이 있는 포식자-피식자 시스템의 반응-확산 모델을 연구하며, 해의 존재성, 유일성 및 渐近적 행동을 증명한다. 강한 경쟁은 공존하는 포식자 집단의 수를 제한하며, 놀랍게도 최적의 총 포식자 개체수는 균일한 집단이 아니라 다수의 경쟁적이고 공격적인 포식자 하위집단에 의해 달성된다.

ABSTRACT

International audience

연구 동기 및 목표

• 자신 중심적이며 비협력적인 포식자 행동이 생태계에서 영역성으로 이어질 수 있는 방식을 이해하기 위해.
• 경쟁 포식자와 피식자를 포함한 반응-확산 모델에서 해의 존재성, 유일성 및 장기적 행동을 분석하기 위해.
• 다수의 포식자 집단이 공존할 수 있는 조건과 최대 총 포식자 개체수가 달성되는 조건을 규명하기 위해.
• 경쟁 강도(β)가 공간 분리와 개체수 분포를 어떻게 형성하는지 조사하기 위해.
• 최적의 포식자 개체수 크기가 균일한 집단이 아니라 경쟁적이고 공격적인 하위집단을 통해 달성되는지 탐구하기 위해.

제안 방법

• 로트카-볼테라 형 동역학과 집단 간 경쟁을 포함한, 피식자(u)와 N개의 포식자 집단(w1,…,wN)을 모델링하는 포물형 편미분방정식계를 수립한다.
• 분기 분석을 통해 강한 경쟁(큰 β) 조건에서 풍부한 비정상 정적 해의 존재를 보여준다.
• 균일 추정과 渐近적 분석을 적용하여 β → +∞의 극한에서 해를 기술하며, 분리된 구성으로의 수렴을 보여준다.
• 비교 원리와 고유값 추정을 활용하여 극한 경쟁 및 높은 포식률 조건에서 해의 행동을 분석한다.
• 변분 방법과 최적화 기법을 활용하여 총 포식자 개체수 ∫Ω∑wi를 극대화하는 해를 식별한다.
• 에너지 추정과 약한/강한 수렴 논증을 적용하여 고경쟁 또는 높은 포식률 조건에서 포식자 밀도의 소멸을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경쟁 포식자 집단이 있는 포식자-피식자 시스템에서 비정상 정적 해가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 경쟁 강도 β를 증가시킬 경우 공존하는 포식자 집단의 수와 그들의 공간 분포는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 단일 균일 집단이 아니라 다수의 경쟁적 포식자 하위집단이 있는 구성이 총 포식자 개체수를 극대화할 수 있는가?
• RQ4 주어진 영역에서 공존하는 포식자 집단의 수에 대한 상한은 무엇이며, 이를 결정하는 생태학적 매개변수는 무엇인가?
• RQ5 포식자 간 강한 경쟁이 공간 분리를 유도하는가? 이는 β → +∞의 극한에서 정확하게 기술될 수 있는가?

주요 결과

• 충분히 큰 경쟁 강도 β > β̄ 에서, 시스템의 해는 근사적으로 일정(작은 값)이거나 최대 N̄ + 1개의 비자명한 성분을 가진다. 여기서 N̄ ≲ |Ω|/(4π) max_i (λki − μωi)/diμ 는 2차원에서 성립한다.
• β → +∞ 의 극한에서 해는 포식자 집단이 서로 겹치지 않는 영역을 차지하는 분리된 구성으로 수렴하며, 이 극한 해는 엄밀히 정의될 수 있다.
• 공격적인 경쟁(높은 β)은 외부 포식자 집단의 침입을 방지하여 국지적 안정성을 향상시킨다.
• 총 포식자 개체수 ∫Ω∑wi 는 단일 균일 포식자 집단이 아니라 두 개 이상의 경쟁적 포식자 하위집단이 있는 구성에서 극대화되며, 특히 영역이 직사각형이고 μ 가 작을 경우 두드러진다.
• 강한 경쟁과 높은 포식률 조건에서 포식자 밀도 wn 과 피식자 밀도 un 은 매개변수 영역에 따라 균일하게 0으로 수렴하거나 일정 상태로 수렴한다.
• 분석을 통해 경쟁 조건 하에서 최적의 포식자 개체수 구성은 다수의 상호 공격적인 포식자 집단이 필요하며, 이는 경쟁이 총 포식자 개체수에 유리할 수 있음을 입증한다.