[논문 리뷰] Reduced order modelling of fully coupled electro-mechanical systems through invariant manifolds with applications to microstructures

Attilio Frangi, Alessio Colombo외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 12. 22.

Advanced MEMS and NEMS Technologies인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 불변 다변수의 직접 매개변수화 방법(DPIM)을 사용하여 완전히 결합된 전기기계적 MEMS에 대한 새로운 축소 차원 모델링 기법을 제안한다. 다항 비선형성을 명시적으로 포함하는 혼합 완전 라그랑주 형식을 개발함으로써, 전기적 작동력에 의해 구동되는 미세 구조물의 비선형 진동에 대해 정확하고 고차원의 모델 축소를 가능하게 하여, 경화성에서 연성으로의 전이 및 부가 공진과 같은 복잡한 역학을 높은 정밀도로 성공적으로 포착한다.

ABSTRACT

This paper presents the first application of the direct parametrisation method for invariant manifolds to a fully coupled multiphysics problem involving the nonlinear vibrations of deformable structures subjected to an electrostatic field. The formulation proposed is intended for model order reduction of electrostatically actuated resonating Micro-Electro-Mechanical Systems (MEMS). The continuous problem is first rewritten in a manner that can be directly handled by the parametrisation method, which relies upon automated asymptotic expansions. A new mixed fully Lagrangian formulation is thus proposed which contains only explicit polynomial nonlinearities, which is then discretised in the framework of finite element procedures. Validation is performed on the classical parallel plate configuration, where different formulations using either the general framework, or an approximation of the electrostatic field due to the geometric configuration selected, are compared. Reduced-order models along these formulations are also compared to full-order simulations operated with a time integration approach. Numerical results show a remarkable performance both in terms of accuracy and wealth of nonlinear effects that can be accounted for. In particular, the transition from hardening to softening behaviour of the primary resonance while increasing the constant voltage component of the electric actuation, is recovered. Secondary resonances leading to superharmonic and parametric resonances are also investigated with the reduced-order model.

연구 동기 및 목표

• 완전히 결합된 전기기계적 시스템에 내재된 비선형성으로 인한 모델 축소 문제를 해결하기 위해.
• 기존의 점진적 전개 기반의 축소 방법에 사용하기 위해 전기적 힘의 비다항성 문제를 해결하기 위해.
• 유한 요소 이산화 및 불변 다변수 기법과 호환되는 일반적이고 기하학적 특성에 의존하지 않는 형식을 개발하기 위해.
• MEMS에서 비선형 공진 거동에 대해 전체 차원 시뮬레이션과 기준 솔루션을 기반으로 축소 차원 모델을 검증하기 위해.
• 진동하는 미세 구조물에서 경화성에서 연성으로의 전이 및 부가 공진과 같은 복잡한 비선형 현상을 정확하게 예측할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 전기기계적 문제를 원래의 구성 상태에서 재정의하는 새로운 혼합 완전 라그랑주 형식을 제안하며, 전기장의 표현을 위해 보조 장을 도입한다.
• 모든 비선형성이 명시적이고 다항식 형태로 표현되어, 임의의 차수의 점진적 전개에 DPIM를 직접 적용할 수 있도록 보장한다.
• 유한 요소 방법을 통해 유도 방정식을 반산형으로 이산화하여, 비자율적 DPIM에 적합한 미분-대수 방정식 시스템을 도출한다.
• 자동화된 점진적 전개 기법을 사용하여 비선형 정상 모드를 위상 공간 내의 불변 다변수로 포착하는 축소 차원 모델(ROM)을 유도한다.
• 연속 기법을 ROM에 적용하여 주파수-응답 곡선을 추적하고 분기 현상을 분석한다.
• 평행판 구조에 대한 시간 적분 및 해석 기준 솔루션을 기반으로 ROM 예측 결과를 전체 차원 시뮬레이션과 비교하여 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불변 다변수의 직접 매개변수화 방법(DPIM)을 비다항 비선형성을 지닌 완전히 결합된 전기기계적 시스템에 성공적으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 비다항성으로 인해 고정된 전기적 힘은 어떻게 재구성되어야 하며, 이를 통해 모델 축소에서 고차수 점진적 전개를 가능하게 할 수 있는가?
• RQ3 제안된 ROM이 MEMS에서 경화성에서 연성으로의 전이 및 부가 공진과 같은 복잡한 비선형 역학을 어느 정도 정확하게 포착할 수 있는가?
• RQ4 전개 과정에서 비자율 항의 차수는 ROM의 정확도와 수렴성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 제안된 ROM은 전체 차원 유한 요소 시뮬레이션에 비해 계산 효율성이 얼마나 뛰어나며, 어떤가?

주요 결과

• 제안된 혼합 완전 라그랑주 형식은 비다항 전기적 비선형성을 명시적인 다항식 형태로 성공적으로 변환하여 DPIM의 적용을 가능하게 하였다.
• DC 전압 성분이 증가함에 따라 주공진에서 경화성에서 연성으로의 전이가 정확하게 포착되었으며, 전체 차원 시뮬레이션 결과와 일치하였다.
• 초조파 및 주기적 공진을 포함한 부가 공진 현상이 축소 차원 모델에 의해 성공적으로 재현되었다.
• ROM의 수렴은 O(9,3)에서 달성되었으며, O(9,5)를 초과하는 고차항은 해에 미치는 영향이 최소한이었다.
• 계산 비용은 극적으로 감소하였다: O(7,1)의 경우 ROM 구축에 1분 미만, O(9,5)의 경우 최대 25분이 소요되었으며, 각 연속 곡선 계산에는 10초에서 1분이 소요되었다.
• 스프링 비례 감쇠는 분기 분지의 수렴에 필수적이었고, 질량 비례 감쇠는 발산하는 해를 유도하여, ROM이 감쇠를 정확하게 표현하고 있음을 입증하였다.