[논문 리뷰] A non-amenable groupoid whose maximal and reduced $C^*$-algebras are the same

Rufus Willett|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 21.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 13인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 비가역적이고, 최대 및 축소 C*-대수들이 서로 동형이지만, 위상적으로 애매하지 않은 국소적으로 컴act한 하우스도르프이고, 두 번째 가산적인 에탈 군oids를 구성한다. 이 구성은 히그슨, 라포르그, 스타날리스가 바움-콘스 추측의 반례로 사용한 것과 유사하며, 루보츠키와 쇼람의 성질 FD를 활용하여 비가역성에도 불구하고 C*-대수들이 동형이 되도록 보장한다. 이는 군oids에 대해 '위상적 가역성 ⇒ C*-대수 동형'의 역이 성립하지 않음을 보여주며, 군oids에 대한 헐라니cki 정리의 자연스러운 일반화가 성립하지 않음을 시사한다.

ABSTRACT

We construct a locally compact groupoid with the properties in the title. Our example is based closely on constructions used by Higson, Lafforgue, and Skandalis in their work on counterexamples to the Baum-Connes conjecture. It is a bundle of countable groups over the one point compactification of the natural numbers, and is Hausdorff, second countable and étale.

연구 동기 및 목표

• 군oids에 대해 '위상적 가역성 ⇒ C*-대수 동형'의 역이 성립하지 않음을 보이기.
• 최대 및 축소 C*-대수가 일치하는 비가역 군oids의 구체적 예를 제공하기.
• 에탈 군oids의 맥락에서 위상적 가역성, 측도론적 가역성, C*-대수 동형 사이의 관계를 명확히 하기.
• C*-대수 동형이 가역성을 암시하는가에 대한 오랫동안 미해결된 열린 질문에 응답하기.

제안 방법

• 바움-콘스 추측의 반례로 사용된 히그슨, 라포르그, 스타날리스의 군oids 구성 방식을 응용한다.
• 자연수의 한점 컴act화 위에 가산군들의 범주로 구성된 군oids를 만든다.
• 루보츠키와 쇼람의 성질 FD를 활용하여 군oids의 최대 및 축소 C*-대수가 동형이 되도록 보장한다.
• 에탈 군oids의 경우 위상적 가역성과 측도론적 가역성이 동치이지만, C*-대수 동형의 역은 성립하지 않음을 이용한다.
• 군oids의 구조를 분석하여 위상적으로 가역적이지 않지만 여전히 C*max(G) = C*red(G)임을 보인다.
• 정확성과 와이즈드곱에 관한 기존 결과를 활용하여 비가역 케이스에서는 정확성이 성립하지 않음을 규명함으로써 군oids의 비가역성을 강화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군oids에 대해 최대 및 축소 C*-대수가 동일할 경우, 이는 위상적 가역성을 암시하는가? (이는 군의 경우 성립한다.)
• RQ2 비가역 군oids가 최대 및 축소 C*-대수를 동형으로 가질 수 있는가?
• RQ3 위상적 가역성이 실패할 경우, 측도론적 가역성과 C*-대수 동형 사이의 관계는 어떠한가?
• RQ4 변환 군oids나 주로 군oids는 최대 및 축소 C*-대수가 동형이지만 비가역적인가?
• RQ5 이 결과는 코arse 군oids 또는 코arse 기하학에서의 균일한 로 대수로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 국소적으로 컴 pact하고, 하우스도르프이며, 두 번째 가산적이며, 에탈인 군oids의 특정 예를 구성한다. 이 군oids는 위상적으로 가역적이지 않다.
• 비가역성에도 불구하고 군oids의 최대 및 축소 C*-대수는 동형이므로, C*max(G) = C*red(G)이다.
• 이 예는 자연수 ℕ의 한점 컴 pact화 위에 가산군들의 범주로 구성되며, 성질 FD를 가진 유한부분군의 수열을 사용한다.
• 이 구성은 성질 FD가 군oids의 축소 C*-대수가 정확함을 보장함으로써 최대 및 축소 완비화의 동형을 확보하는 데 의존한다.
• 결과적으로 위상적 가역성이 C*max(G) = C*red(G)를 위해 필수적이지 않음을 보여주며, 이는 군oids에 대한 헐라니cki 정리의 자연스러운 일반화가 성립하지 않음을 반박한다.
• 이 예는 측도론적 가역성이 C*-대수 동형을 암시한다는 것을 의미하지 않으며, 또한 변환 군oids나 주로 군oids의 상태를 이 맥락에서 해결하지는 않는다.