[論文レビュー] An introduction to the physics of Cartan gravity

Hans Westman, Tom Złośnik|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2014

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 57被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、SO(1,4)局所対称性と重力ヒッグス場 $V^A$ に基づくゲージ理論的枠組みとしてのカルタン重力を導入する。この場は対称性を動的に破る。$V^2 = \text{const}$ の極限では一般相対性理論が現れ、$V^2$ が変化すると、伝搬するねじれを伴うスカラー・テンソル重力と計量の符号変化が生じ、ビッグバン特異点のないハートル＝ホーキングの境界なし提案の古典的類似が得られる。

ABSTRACT

A distance can be measured by monitoring how much a wheel has rotated when rolled without slipping. This simple idea underlies the mathematics of Cartan geometry. The Cartan-geometric description of gravity consists of a SO(1,4) gauge connection $A^{AB}(x)$ and a symmetry-breaking field $V^A(x)$. The clear similarity with symmetry-broken Yang-Mills theory suggests strongly the existence of a new field in nature: the gravitational Higgs field $V^A$. By treating $V^A$ as a genuine dynamical field we arrive at a natural generalization of General Relativity with a wealth of new phenomenology and with General Relativity reproduced exactly in the limit where $V^2$ tends to a positive constant. We show that in regions wherein $V^2(x)$ varies, but has a definite sign, the Cartan-geometric formulation is a form of a scalar-tensor theory. A specific choice of action yields the Peebles-Ratra quintessence model whilst more general actions are shown to exhibit propagation of torsion. Regions where the sign of $V^2$ changes correspond to a change in signature of the geometry; a simple choice of action with FRW symmetry yields, without any additional ad hoc assumptions, a classical analogue of the Hartle-Hawking no-boundary proposal. Solutions from more general actions are discussed. A gauge prescription for coupling matter to gravity is described and matter actions are presented which reduce to standard ones in the limit $V^2 ightarrow const$. It becomes clear that Cartan geometry may function as a novel platform for inspiring and exploring modified theories of gravity with applications to dark energy, black holes, and early-universe cosmology. We end by listing a set of open problems.

研究の動機と目的

• カルタン幾何学を用いた重力のゲージ理論的定式化を発展させること。これは、重力とヤン・ミルズ理論との類似性にインspiredされる。
• 重力ヒッグス場 $V^A$ を基本的な動的場として導入し、$SO(1,4)$ 対称性を破り、一般相対性理論を一般化すること。
• $V^2$ の符号が変化するような宇宙論的解を探索し、計量の符号変化を引き起こし、ハートル＝ホーキングの境界なし提案の古典的実現を可能にすること。
• すべての物質作用が一次形式となるように物質のカップリングを再定式化し、ゲージ原理に整合させ、$V^2$ が定数のとき標準形式に還元されることを保証すること。
• カルタン幾何的重力から生じる新しい物性現象、特にダークエネルギー、ねじれの伝搬、初期宇宙宇宙論におけるものを探ること。

提案手法

• カルタン幾何学を用い、重力を $SO(1,4)$ ゲージ接続 $A^{AB}$ とソルディング形式 $V^A$ で記述し、この場がゲージ対称性を破る。
• カルタンの構造方程式を用いて、$A^{AB}$ と $V^A$ から計量 $g_{\mu\nu}$ とアフィン接続 $\Gamma^\rho_{\mu\nu}$ を構成する。
• ゲージ場強度 $F^{AB} = dA^{AB} + A^A_C \wedge A^{CB}$ と共変微分 $DV^A$ を用いて、曲率とねじれを定義する。
• マクドウェル＝マナウリ作用とより一般な多項式作用を含む作用原理から運動方程式を導出する。
• 微分形式とゲージ共変な外微分を用いた変分法を実装し、場の運動方程式を体系的に導出する。
• FRW対称性の下での宇宙論的解を分析し、$V^2$ の符号が変わると計量の符号変化が生じ、ビッグバン特異点を回避できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カルタン幾何学を用いた重力のゲージ理論的定式化は、$V^A$ を基本的場としてどのように可能になるか？
• RQ2 $V^2(x)$ を変化させることの宇宙論的結果は何か、特にその符号が変わる領域ではどうなるか？
• RQ3 カルタン重力において、計量の符号変化を通じてハートル＝ホーキングの境界なし提案を古典的に実現できるか？
• RQ4 物質場はカルタン重力にどのようにカップルするのか？その運動方程式の形は何か？
• RQ5 $V^A$ のダイナミクスから生じる物性現象は何か、特にダークエネルギーとねじれの伝搬に関しては？

主な発見

• 一般相対性理論は $V^2(x) \to \text{constant}$ の極限で正確に回復され、この枠組みの整合性が示される。
• $V^2(x)$ が変化しても符号が一定のままである場合、スカラー場 $\phi \propto V^2$ を持つスカラー・テンソル理論に還元され、ねじれが伝搬する。
• 特定の作用はピーブルズ＝ラトラのクインテッセンスモデルを導き、$V^A$ のダイナミクスとダークエネルギーの物性現象を結びつける。
• $V^2(x)$ の符号が変わる領域では、時空幾何が符号変化を経験し、ハートル＝ホーキングの境界なし提案の古典的類似が得られる。
• 一般作用から得られる宇宙論的解はビッグバン特異点を回避し、一般相対性理論またはそのユークリッド版に漸近的に近づく。
• ゲージ原理に従ってカップリングされた物質場の作用は一次微分方程式となり、ディラック場とスカラー場は類似した構造をとる。