[論文レビュー] Asymptotic Chow polystability in Kähler geometry

Akito Futaki|arXiv (Cornell University)|May 24, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 34被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ケーラー幾何における定スカラー曲率ケーラー（cscK）計量の存在と漸近的チャウ多様体ポリスタビリティの関係を調査する。cscK計量が存在するが、漸近的チャウポリスタビリティを満たさない反例が、特定のケーラー・アインシュタイン多様体—特にトーリックファノ7次元多様体および複素2次元曲面—において存在することを示し、cscK計量が漸近的チャウスタビリティを意味するという核心的な予想を揺るがす。結果として、自己同型群が離散でない場合、ドナルドソンの定理が成立しないことが判明し、この状況下でバランスド計量がcscK計量に収束すると予想される期待に反する。

ABSTRACT

It is conjectured that the existence of constant scalar curvature Kähler metrics will be equivalent to K-stability, or K-polystability depending on terminology (Yau-Tian-Donaldson conjecture). There is another GIT stability condition, called the asymptotic Chow polystability. This condition implies the existence of balanced metrics for polarized manifolds $(M, L^k)$ for all large $k$. It is expected that the balanced metrics converge to a constant scalar curvature metric as $k$ tends to infinity under further suitable stability conditions. In this survey article I will report on recent results saying that the asymptotic Chow polystability does not hold for certain constant scalar curvature Kähler manifolds. We also compare a paper of Ono with that of Della Vedova and Zuddas.

研究の動機と目的

• 定スカラー曲率ケーラー（cscK）計量を備えるコンパクトケーラー多様体に対して、漸近的チャウポリスタビリティが成立するかを調査すること。
• 自己同型群が離散であるという仮定の下で、cscK計量が漸近的チャウスタビリティを意味するドナルドソンの定理の妥当性を検証すること。
• 自己同型群が非離散である場合に、cscK計量が存在するが漸近的チャウポリスタビリティが成立しない反例を特定すること。
• テスト配置およびフラッグイデアルに沿った吹き上げを文脈として、漸近的チャウスタビリティ、Kスタビリティ、およびDF不変量の関係を明確にすること。
• 大野、デラ・ヴェドバ＝ツダス、小田の研究において、ケーラー幾何におけるスタビリティ条件に関して矛盾する結果が生じているのを解消すること。

提案手法

• ホロモーフィック切断の対称冪へのSL(H⁰(Lᵏ))作用を用いて、ムーフォード重みとチャウ形式を定義し、漸近的チャウスタビリティを定式化する。
• 王と小田が提示したDF不変量の公式を適用し、M×ℂ上でのフラッグイデアルの吹き上げによって得られる半テスト配置におけるスタビリティ不変量を計算する。
• 特に(M×ℙ¹, L(−E))（Eは特異除集合）のコンパクト化吹き上げにおける交点論を用いて、DF不変量の符号を分析する。
• DF不変量F₁(M,L)を用いて、チャウ重みeᵣの漸近的展開を示し、rが十分に大きいときeᵣ ≤ 0ならばF₁ ≤ 0であることを示す。
• Gorenstein半テスト配置におけるDF不変量の負性によるKスタビリティの特徴づけを用いて、スタビリティ条件を検証する。
• 大野＝佐野＝横田、デラ・ヴェドバ＝ツダス、小田の結果を比較し、Kスタブルまたはケーラー・アインシュタイン多様体が漸近的チャウポリスタビリティを満たさない状況を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同型群が非離散である極小化多様体に対して、定スカラー曲率ケーラー計量の存在が漸近的チャウポリスタビリティを意味するか。
• RQ2 Kスタブルであるが、漸近的チャウポリスタビリティに失敗するケーラー・アインシュタイン多様体の反例を構成可能か。
• RQ3 フラッグイデアルから生じるテスト配置におけるDF不変量およびチャウ重みの漸近的挙動はどのように振る舞い、スタビリティにどのような含意を持つか。
• RQ4 Aut(M,L)が離散でない場合、バランスド計量がcscK計量に収束するというドナルドソンの定理がどの程度失敗するか。
• RQ5 Kスタブルまたはケーラー・アインシュタインオービフォールドが漸近的チャウ不安定である例は存在するか。その場合、ヤウ＝チエン＝ドナルドソン予想にどのような含意があるか。

主な発見

• トーリックファノ7次元多様体が存在し、ケーラー・アインシュタインであるが、漸近的チャウセミスタビリティを満たさないことが、大野＝佐野＝横田によって示された。これは、cscK計量が漸近的チャウスタビリティを意味すると予想されるのを覆す。
• デラ・ヴェドバとツダスは、定スカラー曲率ケーラー曲面の反例を構成し、複素次元2においてもスタビリティ条件が成立しないことを示した。
• 小田は、有限自己同型群を備える特定のKスタブルケーラー・アインシュタインオービフォールドが漸近的チャウ不安定であることを証明し、ドナルドソンの定理における自己同型群の条件が本質的であることを示した。
• 定理7.6を用いてフラッグイデアルに沿った吹き上げにより計算されたDF不変量は、Kスタビリティの十分条件を提供し、その負性が漸近的チャウポリスタビリティの失敗を決定づける。
• 漸近的チャウ重みeᵣの符号は、DF不変量F₁(M,L)の符号と直接関連し、rが十分に大きいときeᵣ ≤ 0ならばF₁ ≤ 0である。これは、漸近的チャウセミスタビリティがKセミスタビリティを意味することを確認する。
• 本稿は、Aut(M,L)が非離散である場合、cscK計量の存在に対して漸近的チャウポリスタビリティは必要条件でないことを確立し、バランスド計量の収束プログラムにおける中心的仮定を揺るがした。