[論文レビュー] Curve counting in genus one: elliptic singularities & relative geometry

Luca Battistella, Navid Nabijou+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 48被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非常に豊かであるペアに対して、楕円特異点の幾何を用いた分解と正規化を用いて、Gathmannの種数ゼロの再帰を一般化する、縮約的で相対的な種数1のGromov–Witten不変量を構築する。主な貢献は、Zingerの縮約的不変量を種数1に拡張する相対的から絶対的への理論であり、安定写像のモジュライ空間の対数的ブLOWUPへの応用を含む。

ABSTRACT

We construct and study the reduced, relative, genus one Gromov--Witten theory of very ample pairs. These invariants form the principal component contribution to relative Gromov--Witten theory in genus one and are relative versions of Zinger's reduced Gromov--Witten invariants. We relate the relative and absolute theories by degeneration of the tangency conditions, and the resulting formulas generalise a well-known recursive calculation scheme put forward by Gathmann in genus zero. The geometric input is a desingularisation of the principal component of the moduli space of genus one logarithmic stable maps to a very ample pair, using the geometry of elliptic singularities. Our study passes through general techniques for calculating integrals on logarithmic blowups of moduli spaces of stable maps, which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 非常に豊かなペアに対して、種数1の相対的・縮約的Gromov–Witten不変量を構築し、種数1における相対理論の主要成分をなす。
• 接続条件の分解を用いて相対不変量と絶対不変量を関連づけ、Gathmannの種数ゼロ再帰フレームワークを種数1に一般化する。
• 種数1の対数的安定写像のモジュライ空間を、楕円特異点の幾何を用いて正規化することで、不変量の計算を可能にする。
• 安定写像のモジュライ空間の対数的ブLOWUP上での積分を計算する一般的手法を開発し、本研究の文脈を超えて応用可能である。

提案手法

• 種数1における相対Gromov–Witten理論の主要成分として、縮約的で相対的な種数1不変量を構築する。
• 分解技術を用いて相対不変量と絶対不変量を関連づけ、Gathmannの種数ゼロ再帰スキームを一般化する。
• 楕円特異点の幾何を用いて、種数1の対数的安定写像のモジュライ空間を正規化する。
• 対数的幾何を活用して、安定写像のモジュライ空間の対数的ブLOWUP上での積分を計算する一般的手法を開発する。
• Zingerの縮約的不変量をベースとし、相対的および種数1の設定に拡張する。
• 接続条件や境界挙動を体系的かつ一貫して取り扱える、対数的安定写像の枠組み内で作業する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非常に豊かなペアに対して、縮約的で相対的な種数1のGromov–Witten不変量をどのように体系的かつ一貫して構築できるか？
• RQ2 接続条件の分解が、相対的種数1不変量と絶対的不変量をどのように関連づけるか。また、これはGathmannの種数ゼロ再帰をどのように一般化するか？
• RQ3 種数1の対数的安定写像のモジュライ空間の正規化が、不変量の計算において果たす役割は何か？
• RQ4 楕円特異点の幾何を用いて、対数的安定写像のモジュライ空間の主要成分をどのように解消できるか？
• RQ5 この構成から、安定写像のモジュライ空間の対数的ブLOWUP上での積分を計算する一般的手法はどのように明らかになるか？

主な発見

• 本稿では、非常に豊かなペアに対して、縮約的で相対的な種数1のGromov–Witten不変量を構築し、種数1における相対理論の主要成分として位置づける。
• 相対不変量と絶対不変量を関連づける分解公式が導出され、Gathmannの種数ゼロ再帰スキームが種数1に一般化される。
• 種数1の対数的安定写像のモジュライ空間が、楕円特異点の幾何を用いて正規化され、不変量の計算が可能になる。
• 安定写像のモジュライ空間の対数的ブLOWUP上での積分を計算する一般的手法が開発され、本研究の文脈を超えた応用が可能である。
• 相対理論はZingerの縮約的不変量を種数1に拡張し、この文脈における彼の絶対的不変量の相対的版を提供する。