[論文レビュー] D-branes and Azumaya/matrix noncommutative differential geometry, I: D-branes as fundamental objects in string theory and differentiable maps from Azumaya/matrix manifolds with a fundamental module to real manifolds

Chien‐Hao Liu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 137被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、基本的モジュールを備えたアズマヤ／行列多様体を用いて、弦理論におけるD-braneの微分幾何的枠組みを導入し、実多様体への$C^k$-滑らかな写像を確立する。この枠組みにおいて、ラグランジュ的、特別ラグランジュ的、および$J$-正則写像を定義し、D-braneを、零化子的チャン・パトン・シェーブ（nilpotent Chan-Paton sheaves）とスキーム論的変形を介したT-brane配置を含む、基本的対象として幾何的に記述可能にする。

ABSTRACT

We consider D-branes in string theory and address the issue of how to describe them mathematically as a fundamental object (as opposed to a solitonic object) of string theory in the realm in differential and symplectic geometry. The notion of continuous maps, $k$-times differentiable maps, and smooth maps from an Azumaya/matrix manifold with a fundamental module to a (commutative) real manifold $Y$ is developed. Such maps are meant to describe D-branes or matrix branes in string theory when these branes are light and soft with only small enough or even zero brane-tension. When $Y$ is a symplectic manifold (resp. a Calabi-Yau manifold; a $7$-manifold with $G_2$-holonomy; a manifold with an almost complex structure $J$), the corresponding notion of Lagrangian maps (resp. special Lagrangian maps; associative maps, coassociative maps; $J$-holomorphic maps) are introduced. Indicative examples linking to symplectic geometry and string theory are given. This provides us with a language and part of the foundation required to study themes, new or old, in symplectic geometry and string theory, including (1) $J$-holomorphic D-curves (with or without boundary), (2) quantization and dynamics of D-branes in string theory, (3) a definition of Fukaya category guided by Lagrangian maps from Azumaya manifolds with a fundamental module with a connection, (4) a theory of fundamental matrix strings or D-strings, and (5) the nature of Ramond-Ramond fields in a space-time. The current note D(11.1) is the symplectic/differential-geometric counterpart of the more algebraic-geometry-oriented first two notes D(1) ([L-Y1]) (arXiv:0709.1515 [math.AG]) and D(2) ([L-L-S-Y], with Si Li and Ruifang Song) (arXiv:0809.2121 [math.AG]) in this project.

研究の動機と目的

• アズマヤ／行列多様体を用いた微分幾何的枠組みを構築することで、D-braneを単なるソリトン状態ではなく、弦理論における基本的対象として確立すること。
• 基本的モジュールを備えたアズマヤ多様体から実多様体への微分可能写像（$C^k$および滑らかさを含む）を定義し、光またはソフトD-braneをモデル化すること。
• 行列幾何の文脈において、ラグランジュ的、特別ラグランジュ的、アソシオアティブ、コアソシオアティブ、および$J$-正則写像といった幾何的概念を導入すること。
• フォーカイカテゴリ、量子化されたD-brane力学、および基本的行列ストリングを含む、シンプレクティック幾何および弦理論における新規構成の基盤を提供すること。
• ラムンド＝ラムンド場の役割および非還元的台（例：零化子的構造）がD-brane配置に与える影響を調査すること。

提案手法

• 基本的モジュールを備えたアズマヤ／行列多様体から実多様体への$C^k$-写像の概念を展開し、微分幾何における滑らかな写像の一般化を行う。
• アズマヤ代数上の基本的モジュールの概念を導入し、ベクトルバンドルの非可換アナログとして機能する。
• 特別ラグランジュ的写像を、アズマヤ多様体からカラビ＝ヤウ多様体への写像として定義し、非可換設定におけるキャリブレート条件を満たすものとする。
• 基本的モジュール上の接続のプッシュフォワードを用いて、画像が非還元的であっても、画像上での平坦接続を定義する。
• 環準同型$C^\infty({\bb C}^1) \to M_{3\times 3}(C^\infty({\bb R}^1)^\bb C)$を用いた具体的な例を構成し、零化子的作用を有するT-brane配置をモデル化する。
• 特別ラグランジュ的写像の変形を分析し、滑らかな写像が非還元的画像（零化子的フィルトレーションを伴う）に退化する仕組みを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換微分幾何を用いて、D-braneを弦理論における基本的対象として数学的に記述するにはどうすればよいか？
• RQ2 D-braneが非自明なチャン・パトン・シェーブ（零化子的構造を有する）を担う場合、ラグランジュ部分多様体の正しい一般化は何か？
• RQ3 アズマヤ多様体に基本的モジュールを備えた写像を介して、ラグランジュ的サイクルのスキーム論的変形を実現できるか？
• RQ4 T-brane配置（零化子的ヒッグスバンドルによって特徴づけられる）は、この枠組みにおいて自然にどのように現れるか？
• RQ5 このような写像の下でのモジュールのプッシュフォワードにおいて、平坦接続とフィルトレーションの役割は何か？

主な発見

• 本稿は、基本的モジュールを備えたアズマヤ実ラインから$\bb C^1$への滑らかな写像の族$\varphi_t^{(4)}$を構成し、$t>0$ではモジュールが3つのランク1部分モジュールに分解されることを示す。
• $t=0$では、写像$\varphi_0^{(4)}$は特別ラグランジュ的直線$L_{0,0}$上に台を持つ非還元的画像$Z_0^{(4)}$を誘導し、重複度3を有する。
• プッシュフォワード$\varphi_{0*}^{(4)}\cal E$は、$Z_0^{(4)}$上のランク1の層であり、平坦接続と、その接続が保存するフィルトレーションを有する。
• 零化子的イデアル層$\cal I_{L_{0,0}}$は$y^2$によって生成され、$\cal I_{L_{0,0}}^3 = 0$を満たす。フィルトレーション$0 \subset \cal I^2 \cdot \varphi_*\cal E \subset \cal I \cdot \varphi_*\cal E \subset \varphi_*\cal E$は接続によって保存される。
• 極限写像$\varphi_0^{(4)}$は、$y^2$がプッシュフォワードモジュール上での零化子的作用素として作用するT-brane配置を実現する。
• この構成は、非還元的構造（零化子的クラウド）が変形に応じて変化するが、還元的画像はそのままであるラグランジュ的サイクルのスキーム論的変形を示している。