[论文解读] Deformations and stability in complex hyperbolic geometry

Boris N. Apanasov|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 1997

Geometric and Algebraic Topology参考文献 39被引用 8

一句话总结

本文研究了具有局部 Bergman 度量的非紧复双曲流形的形变与稳定性，重点关注其基本群到 $PU(n,1)$ 的离散表示。尽管存在 Goldman-Millson-Yue 的刚性结果，本文仍识别出此类流形的某些类——特别是 Stein 空间——可允许非平凡的拟 Fuchsian 形变，其中一些具有拟共形稳定性，另一些则通过同胚实现稳定，揭示了几何结构与复解析性质之间的结构性联系。

ABSTRACT

This paper concerns with deformations of noncompact complex hyperbolic manifolds (with locally Bergman metric), varieties of discrete representations of their fundamental groups into $PU(n,1)$ and the problem of (quasiconformal) stability of deformations of such groups and manifolds in the sense of L.Bers and D.Sullivan. Despite Goldman-Millson-Yue rigidity results for such complex manifolds of infinite volume, we present different classes of such manifolds that allow non-trivial (quasi-Fuchsian) deformations and point out that such flexible manifolds have a common feature being Stein spaces. While deformations of complex surfaces from our first class are induced by quasiconformal homeomorphisms, non-rigid complex surfaces (homotopy equivalent to their complex analytic submanifolds) from another class are quasiconformally unstable, but nevertheless their deformations are induced by homeomorphisms.

研究动机与目标

• 研究具有无限体积的非紧复双曲流形中非平凡形变的存在性与性质。
• 分析此类形变在拟共形与拓扑等价下的稳定性。
• 调和刚性定理（例如 Goldman-Millson-Yue）与灵活几何结构存在的表观矛盾。
• 识别几何与复分析条件——特别是 Stein 空间结构——以实现非刚性形变。
• 阐明同胚与拟共形映射在诱导复双流形结构形变中的作用。

提出的方法

• 分析复双流形基本群到 $PU(n,1)$（复双空间的等距群）的离散表示。
• 应用复几何与几何分析技术，研究此类表示的形变空间。
• 区分两类流形：一类具有拟共形稳定的形变，另一类虽不稳定但仍可形变。
• 利用 Stein 空间性质作为柔性流形的统一特征，将复解析结构与几何柔性联系起来。
• 研究拟共形映射在诱导复曲面形变中的作用，以及同胚在非刚性但可形变情形中的作用。
• 依赖微分几何与复变函数的基础结果，特别关注局部 Bergman 度量与全纯结构的背景。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何或复分析条件下，非紧复双曲流形尽管存在刚性定理，仍能允许非平凡形变？
• RQ2 复双结构中拟共形稳定与不稳定形变有何区别？
• RQ3 Stein 空间结构如何与复双几何中柔性形变的存在性相关联？
• RQ4 在复双流形中，形变在多大程度上可由拟共形映射或一般同胚诱导？
• RQ5 基本群到 $PU(n,1)$ 的离散表示在决定底层流形的稳定性与柔性方面起何作用？

主要发现

• 作为 Stein 空间的非紧复双曲流形可允许非平凡的拟 Fuchsian 形变，这与刚性定理的预期相悖。
• 第一类中复曲面的形变由拟共形同胚诱导，表明具有拟共形稳定性。
• 非刚性复曲面（同伦等价于其复解析子流形）虽拟共形不稳定，但仍可通过同胚实现形变。
• 此类流形中实现柔性的共同特征是其底层流形的 Stein 空间结构。
• 结果表明，复分析性质——特别是 Stein 性——在决定复双几何中几何柔性的过程中起关键作用。
• 本文建立了复几何（Stein 空间）与 $PU(n,1)$ 作用于复双流形的形变理论之间的结构性联系。