[論文レビュー] Eigencones and the PRV conjecture

Nicolas Ressayre|ArXiv.org|Oct 5, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、複素半単純 simply connected 群 G の可約表現のテンソル積のコホモロジー的成分が、安定重複度1をもつPRV成分にちょうど一致することを証明し、Eigenconeを用いた幾何的特徴づけを確立する。DimitrovとRothの予想を解決し、PRV条件の3つの自然な一般化が一致することを示している：コホモロジー的成分、安定重複度1をもつPRV成分、およびLR錐における定期的極値点。

ABSTRACT

Let $G$ be a complex semisimple simply connected algebraic group. Given two irreducible representations $V_1$ and $V_2$ of $G$, we are interested in some components of $V_1\otimes V_2$. Consider two geometric realizations of $V_1$ and $V_2$ using the Borel-Weil-Bott theorem. Namely, for $i=1, 2$, let $\Li_i$ be a $G$-linearized line bundle on $G/B$ such that ${ m H}^{q_i}(G/B,\Li_i)$ is isomorphic to $V_i$. Assume that the cup product $$ { m H}^{q_1}(G/B,\Li_1)\otimes { m H}^{q_2}(G/B,\Li_2)\longto { m H}^{q_1+q_2}(G/B,\Li_1\otimes\Li_2) $$ is non zero. Then, ${ m H}^{q_1+q_2}(G/B,\Li_1\otimes\Li_2)$ is an irreducible component of $V_1\otimes V_2$; such a component is said to be {\it cohomological}. Solving a Dimitrov-Roth conjecture, we prove here that the cohomological components of $V_1\otimes V_2$ are exactly the PRV components of stable multiplicity one. Note that Dimitrov-Roth already obtained some particular cases. We also characterize these components in terms of the geometry of the Eigencone of $G$. Along the way, we prove that the structure coefficients of the Belkale-Kumar product on ${ m H}^*(G/B,\ZZ)$ in the Schubert basis are zero or one.

研究の動機と目的

• 表現論におけるPRV条件の3つの一般化の同値性を示すDimitrovとRothの予想を解決すること。
• Borel-Weil-Bott定理を用いた幾何的実現を通じて、可約表現のテンソル積のコホモロジー的成分を特徴づけること。
• 安定重複度1をもつPRV予想とGのEigenconeの幾何との明確な関係を確立すること。
• H*(G/B, Z)におけるBelkale-Kumar積のシューベルト基底における構造係数が0または1であることを証明すること。

提案手法

• 旗多様体G/B上の線束のコホモロジーを用いた可約表現の幾何的実現を、Borel-Weil-Bott定理を適用して行う。
• 層コホモロジーにおけるカップ積の非消滅を用いてコホモロジー的成分を定義する：H^q1(G/B, L1) ⊗ H^q2(G/B, L2) → H^q1+q2(G/B, L1⊗L2)。
• well-covering対(C, λ)の概念を適用し、幾何的不変量理論の文脈で軌道と安定化部分群を解析するためのモーメント写像を用いる。
• Weyl群の作用および重みへのねじれ作用(·)を用いて、条件u·λ + v·μ = w·ν と l(w) = l(u) + l(v) を満たすことでコホモロジー的成分を定義する。
• GのEigenconeを用いて、凸幾何学と面構造を用いて、ドミナント重み三重組(λ, μ, ν)の3つの同値類を特徴づける。
• LR錐の構造とその正則な面に関する結果を活用し、次元2rの最小正則面における定期的極値点が、他の2つのクラスにちょうど一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Vλ ⊗ Vμのコホモロジー的成分は、安定重複度1をもつPRV成分と一致するか？
• RQ2 GのEigenconeを用いた幾何的特徴づけによって、安定重複度1をもつPRV成分を特徴づけられるか？
• RQ3 コホモロジー的、安定重複度1をもつPRV、および定期的極値点というPRV条件の3つの自然な一般化が同値であることを示せるか？
• RQ4 H*(G/B, Z)におけるBelkale-Kumar積のシューベルト基底における構造係数は何か？

主な発見

• 任意の複素半単純 simply connected 群Gに対して、コホモロジー的成分、安定重複度1をもつPRV成分、およびLR錐における定期的極値点という3つのクラスは同値である。
• Vλ ⊗ Vμのコホモロジー的成分は、G/B上の層コホモロジーにおけるカップ積の非消滅から生じる可約成分にちょうど一致する。
• H*(G/B, Z)におけるBelkale-Kumar積のシューベルト基底における構造係数は、0または1である。
• LR錐の最小正則面の次元は2rであり、rはGのランクである。定期的極値点はこのような面の上にある。
• 証明により、well-covering対(C, λ)の半安定集合におけるG^λの唯一の閉軌道は点zであり、G_z = G^λであることが示された。
• well-covering対(C, λ)に対する摂動論法を用いて、同じ面をもつ正則1パラメータ部分群λ'を構成し、3条件の同値性を示した。