[论文解读] Ensemble Steering, Weak Self-Duality, and the Structure of Probabilistic Theories

Howard Barnum, Carl Phillipp Gaebler+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2009

Quantum Mechanics and Applications参考文献 16被引用 18

一句话总结

本文证明，在任意有限维概率理论中，普遍集合态隐形（即通过两个副本上的双体态可隐形任意系统态）蕴含态空间的齐次性与弱自对偶性。关键结果是：弱自对偶性与齐次性将一般非经典理论与量子力学之间的差距缩小至弱自对偶性与强自对偶性的区别，表明隐形可能是一项基础性原理，用于表征量子理论。

ABSTRACT

In any probabilistic theory, we may say a bipartite state on a composite system AB steers its marginal state (on, say, system B) if, for any decomposition of the marginal as a mixture, with probabilities p_i, of states b_i of B, there exists an observable a_i on A such that the states of B conditional on getting outcome a_i on A, are exactly the states b_i, and the probabilities of outcomes a_i are p_i. This is always so for pure bipartite states in quantum mechanics, a fact first observed by Schroedinger in 1935. Here, we show that, for weakly self-dual state spaces (those isomorphic, but perhaps not canonically isomorphic, to their dual spaces), the assumption that every state of a system A is steered by some bipartite state of a composite AA consisting of two copies of A, amounts to the homogeneity of the state cone. If the state space is actually self-dual, and not just weakly so, this implies (via the Koecher-Vinberg Theorem) that it is the self-adjoint part of a formally real Jordan algebra, and hence, quite close to being quantum mechanical.

研究动机与目标

• 识别区分量子力学与更广泛非经典概率理论的、具有操作意义的原理。
• 研究普遍集合态隐形在一般概率理论中的几何与代数后果。
• 阐明弱自对偶性与齐次性在缩小可能理论空间、使其趋近于量子力学中的作用。
• 探讨弱自对偶性结合合理的张量积，是否能完全表征有限维量子力学。

提出的方法

• 将集合隐形形式化为：通过双体态上的局部测量，能够制备系统约化态的任意混合态。
• 分析弱自对偶态空间，其中未归一化的态锥与未归一化的效应锥同构，但未必具有典范同构。
• 利用Koecher-Vinberg定理表明：齐次自对偶锥对应于形式实Jordan代数，后者包含量子力学。
• 证明普遍隐形在弱自对偶理论中蕴含态空间锥的齐次性。
• 研究弱自对偶、齐态空间在非信号张量积下的闭包性质。
• 建立隐形与其他信息理论特征（如 teleportation 与 bit commitment）之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 假设通过两个副本上的双体态可普遍隐形任意态，这会对态空间的几何性质产生何种影响？
• RQ2 弱自对偶性如何与接近量子力学的理论结构相关联？
• RQ3 仅靠普遍集合态隐形（无需强自对偶性）是否能完全表征有限维量子力学？
• RQ4 是否存在一类在物理上合理的非信号张量积下封闭的弱自对偶、齐态空间？
• RQ5 弱自对偶性在 teleportation 与 bit commitment 等量子信息协议中的操作意义是什么？

主要发现

• 在弱自对偶理论中，普遍集合态隐形蕴含未归一化态锥的齐次性。
• 齐次性与弱自对偶性共同意味着态空间同构于一个形式实Jordan代数的自伴部分。
• 若该理论还具有强自对偶性（即与对偶典范同构），则根据Koecher-Vinberg定理，其结构与量子力学极为接近。
• 一般非经典理论与量子力学之间的差距被缩小至弱自对偶性与强自对偶性的区别。
• 弱自对偶性是实现非零成功概率的结论性隐形协议的必要条件。
• 普遍隐形的存在排除了非经典理论中某些类型指数安全的 bit commitment 协议。