[論文レビュー] Ergodic complex structures on hyperkahler manifolds

Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 33被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$ b_2 > 3 $ かつ次元 $ \geq 2 $ の複素トーリスを除き、最大ピカールランクのケースを除くと、ハイパーケーラー多様体がエルゴディックな複素構造——つまり、写像類群作用による軌道が稠密であるもの——を有することを確立する。ラトナーの定理とツイスター幾何学を用いて、これらの多様体がコバヤシ非特異的であることを証明し、ハイパーケーラー幾何における特異性に関する長年の問いに答えを提示する。

ABSTRACT

Let $M$ be a compact complex manifold. The corresponding Teichmuller space $\Teich$ is a space of all complex structures on $M$ up to the action of the group of isotopies. The group $Γ$ of connected components of the diffeomorphism group (known as the mapping class group) acts on $\Teich$ in a natural way. An ergodic complex structure is the one with a $Γ$-orbit dense in $\Teich$. Let $M$ be a complex torus of complex dimension $\geq 2$ or a hyperkahler manifold with $b_2>3$. We prove that $M$ is ergodic, unless $M$ has maximal Picard rank (there is a countable number of such $M$). This is used to show that all hyperkahler manifolds are Kobayashi non-hyperbolic.

研究の動機と目的

• ハイパーケーラー多様体に $ b_2 > 3 $ が成り立ち、次元 $ \geq 2 $ の複素トーリスに対して、最大ピカールランクのケースを除き、エルゴディックな複素構造の存在を確立すること。
• このような多様体のテイヒミュラー空間における写像類群 $ \Gamma $ の作用がエルゴディックであることを示し、一般の複素構造に対して軌道が稠密であることを示すこと。
• エルゴディック理論とラトナーの定理を適用し、非エルゴディックな複素構造が正確に最大ピカールランクを持つものに限ることを示すこと。
• エルゴディックな複素構造が非特異的であり、その軌道がテイヒミュラー空間内で稠密であることから、すべてのこのようなハイパーケーラー多様体が非特異的であることを証明すること。
• K3表面や一般化されたクマーヘ이変種などの特定例における非特異的性の既知の結果を、$ b_2 > 3 $ であるすべてのハイパーケーラー多様体に一般化すること。

提案手法

• 多様体 $ M $ 上の複素構造の空間を微分同相型 $ \operatorname{Diff}_0(M) $ で割ったものをテイヒミュラー空間 $ \operatorname{\sf Teich} $ と定義し、写像類群 $ \Gamma = \operatorname{Diff}(M)/\operatorname{Diff}_0(M) $ を定義する。この群は $ \operatorname{\sf Teich} $ に自然に作用する。
• 均一空間上のユニポテンツフローのラトナーの軌道閉包定理を用い、$ \Gamma $-軌道が閉じているか、あるいは稠密であることを示し、非エルゴディックな構造が最大ピカールランクを持つものに一致することを示す。
• ブロディ補題とコバヤシ擬距離の下半連続性を用い、あるエルゴディックな複素構造が非特異的であれば、その近傍および極限の複素構造もすべて非特異的であることを示す。
• ハイパーケーラー三重 $(I,J,K)$ から誘導される複素構造をパラメトライズする、$ \mathbb{C}P^1 $ 上の正則ファイバー空間としてツイスター空間 $ \operatorname{Tw}(M) $ を構成し、キャンパナの結果（このような空間は整関数の像を含む）を用いる。
• $ b_2 > 3 $ のとき、ツイスター族の空間の実次元は $ b_2 - 3 $ より大きいので、非エルゴディックな構造を通過する族の集合は測度ゼロである。これより、一般のツイスター族はエルゴディックなファイバーのみを持つことが示される。
• 一つの非特異的エルゴディックなファイバーが存在すれば、テイヒミュラー空間内の非特異的集合が稠密かつ閉であることに基づき、すべての複素構造が非特異的であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ b_2 > 3 $ であるハイパーケーラー多様体は、テイヒミュラー空間内で写像類群 $ \Gamma $ の作用による軌道が稠密な複素構造を有するか？
• RQ2 ハイパーケーラー多様体および複素トーリス上の非エルゴディックな複素構造の正確な特徴づけは何か？
• RQ3 エルゴディシティを用いて、変形空間全体の性質（例：非特異的性）を導くことは可能か？
• RQ4 非エルゴディックな複素構造の集合は可算であるか？ もしそうなら、どのような幾何的条件下で発生するか？
• RQ5 エルゴディックな複素構造の存在は、すべてのハイパーケーラー多様体がコバヤシ非特異的であることを示唆するか？

主な発見

• $ b_2 > 3 $ であるハイパーケーラー多様体、または次元 $ \geq 2 $ の複素トーリス上での非エルゴディックな複素構造の集合は可算であり、最大ピカールランクを持つものに限る。
• このような多様体に対して、写像類群 $ \Gamma $ はテイヒミュラー空間上でエルゴディックに作用する。これは、一般の複素構造が $ \Gamma $-軌道を稠密に持つことを意味する。
• すべてのコンパクトなハイパーケーラー多様体に $ b_2 > 3 $ が成り立つ場合、コバヤシ擬距離は消える。これは、すべての多様体が非特異的であることを示唆する。
• 一つの非特異的エルゴディックな複素構造が存在すれば、テイヒミュラー空間内での非特異的集合の稠密性および閉性に基づき、すべての複素構造が非特異的であることが示される。
• $ b_2 > 3 $ であるハイパーケーラー多様体上の一般のツイスター族は、非エルゴディックな構造を通過する族の集合が全族空間において測度ゼロであるため、すべてのファイバーがエルゴディックである。
• K3表面や一般化されたクマーヲイ変種における非特異的性の既知の結果を、$ b_2 > 3 $ であるすべてのハイパーケーラー多様体に一般化する。この結果はエルゴディック理論とツイスター幾何学を用いて得られた。