[論文レビュー] Families of Lagrangian fibrations on hyperkaehler manifolds

Ljudmila Kamenova, Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、$b_2 \geq 7$ である固定されたコンpact多様体に対して、ハイパーカähler構造上の全純ラグランジュ被覆の変形型は有限個であることを証明している。モノドロミー群作用とテイヒミュラー空間の幾何を用いて、被覆を定義する上で鍵となる放物型・半正則ラインバンドルが有限個の軌道をなすこと、したがって変形型の有限性が導かれる。

ABSTRACT

A holomorphic Lagrangian fibration on a holomorphically symplectic manifold is a holomorphic map with Lagrangian fibers. It is known that a given compact manifold admits only finitely many holomorphic symplectic structures, up to deformation. We prove that a given compact manifold with $b_2 \geq 7$ admits only finitely many deformation types of holomorphic Lagrangian fibrations. We also prove that all known hyperkahler manifolds are never Kobayashi hyperbolic.

研究の動機と目的

• 非可約コンパクトハイパーカähler多様体上の全純ラグランジュ被覆の変形型を分類すること。
• 固定された滑らかな多様体に対して、ラグランジュ被覆を持つハイパーカähler構造の変形型が有限個であることを証明すること。
• モノドロミー群がラグランジュ被覆に関連する放物型クラスの空間に作用するとき、その軌道が有限個であることを確立すること。
• モジュライ空間における被覆の稠密性を用いて、既知のハイパーカähler多様体が非Kobayashi超曲面的であることを示すこと。
• ハイパーカähler構造の有限性結果を、ラグランジュ被覆を持つ多様体の対へと拡張すること。

提案手法

• バゴモロフ＝ボアスヴィレ＝フジキ形式を用いてハイパーカähler多様体のコホモロジー構造を分析し、可能な変形型を制約する。
• 松下の定理を適用して、$H^{1,1}(M,\mathbb{C})$ 内の放物型・半正則ラインバンドルによってラグランジュ被覆を特徴付ける。
• ハイパーカähler多様体のテイヒミュラー空間内で被覆のモジュライを研究し、放物型クラスに注目する。
• コホモロジー格子上のモノドロミー群作用を用いて軌道構造を分析し、重ね合わせ格子の安定同型を用いて有限性を証明する。
• ニクリンの重ね合わせ格子および判別群の理論を活用し、可能な格子拡張の数を上限づけ、有限個の軌道が保証されることを示す。
• ブロディの補題とモジュライ空間における被覆の稠密性を組み合わせ、既知のハイパーカähler多様体の非超曲面的性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたコンパクトハイパーカähler多様体（$b_2 \geq 7$）上で、全純ラグランジュ被覆の変形型はいくつ存在できるか？
• RQ2 放物型クラスのコホモロジーへのモノドロミー群作用が、有限個の軌道しか生成しないか？
• RQ3 ヒルベルトスキームのK3上への点の集合、一般化されたクマーテンプレート、およびオグレディの例を含む、すべての既知のハイパーカähler多様体は非Kobayashi超曲面的か？
• RQ4 与えられた変形型のモジュライ空間において、ラグランジュ被覆を許すハイパーカähler多様体の集合は、モジュライ空間において稠密か？
• RQ5 放物型クラス上のモノドロミー軌道の有限性から、ラグランジュ被覆の変形型の有限性が導かれるか？

主な発見

• 任意のコンパクト多様体について $b_2 \geq 7$ ならば、ハイパーカähler構造上の全純ラグランジュ被覆の変形型は有限個である。
• モノドロミー群は、ラグランジュ被覆に関連する $H^{1,1}(M,\mathbb{C})$ 内の放物型クラスの集合に作用し、有限個の軌道を生成する。
• $L_M$ を放物型・半正則ラインバンドルとするとき、ペア $(M, L_M)$ は固定された底多様体 $M$ に対して有限個の変形型をなす。
• 固定された放物型クラスに対して、ラグランジュ被覆のモジュライ空間はテイヒミュラー空間において稠密かつ開集合である。
• 既知のハイパーカähler多様体（K3上の点のヒルベルトスキームの変形、一般化されたクマーテンプレート、オグレディの例）はすべて非Kobayashi超曲面的である。
• 被覆のモジュライ空間における稠密性とブロディの補題を組み合わせることで、極限においても非超曲面的性が保たれ、すべての既知の例について非超曲面的性が確認される。