[论文解读] Expansion of Iterated Stochastic Integrals with Respect to Martingale Poisson Measures and with Respect to Martingales Based on Generalized Multiple Fourier Series
本文提出了一种广义方法，利用广义多重傅里叶级数，对任意重数的关于鞅泊松测度和一般鞅的伊藤随机积分进行展开。该方法确保了均方收敛性，并通过正交系（包括贝塞尔函数）提供了显式展开式，从而实现了随机微分方程中复杂随机积分的高效数值逼近。
We consider some versions and generalizations of an approach to the expansion of iterated Ito stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ $(k\in\mathbb{N})$ based on generalized multiple Fourier series. Expansions of iterated stochastic integrals with respect to martingale Poisson measures and with respect to martingales were obtained. For the iterated stochastic integrals with respect to martingales we have proved theorem, which is a generalization of the expansion for iterated Ito stochastic integrals of arbitrary multiplicity based on generalized multiple Fourier series. Also we consider a modification of the mentioned expansion of iterated Ito stochastic integrals for the case of complete orthonormal with weight $r(t_1)\ldots r(t_k)\ge 0$ systems of functions in the space $L_2([t, T]^k)$. Mean-square convergence of the considered expansions is proved. An example of the expansion of iterated (double) stochastic integrals with respect to martingales using the system of Bessel functions is considered.
研究动机与目标
- 开发一种使用广义多重傅里叶级数展开任意重数伊藤随机积分的通用框架。
- 将该展开方法推广至关于鞅泊松测度和一般鞅的随机积分。
- 证明在 $L_2([t,T]^k)$ 中任意完备正交系（带权函数 $r(t_1)\cdots r(t_k) \geq 0$）下，展开式的均方收敛性。
- 通过使用贝塞尔函数作为正交系的具体例子，展示方法的实际适用性。
- 提供一种基于独立标准正态随机变量的可计算的迭代随机积分表示方法。
提出的方法
- 该方法在 $L_2([t,T]^k)$ 中使用正交函数系，采用广义多重傅里叶级数展开。
- 通过允许任意完备正交系（包括带权函数 $r(t_1)\cdots r(t_k) \geq 0$）扩展了先前结果，实现均方逼近。
- 展开式将迭代随机积分表示为涉及傅里叶系数和独立标准正态随机变量的双重和的极限形式。
- 对于鞅泊松测度，通过关联鞅增量的谱表示推导出展开式。
- 采用贝塞尔函数作为 $L_2([0,T])$ 中的完备正交系对方法进行验证，得到以 $\zeta_j^{(i)} = \int_0^T \Psi_j(\tau) dM_\tau^{(i)}$ 表示的显式表达式。
- 该方法确保了在均方意义下的收敛性，如 l.i.m.（均方极限）符号所形式化表达。
实验结果
研究问题
- RQ1能否使用广义多重傅里叶级数对任意重数的迭代伊藤随机积分进行展开，并保证均方收敛？
- RQ2如何将该展开方法推广至包括关于鞅泊松测度的随机积分？
- RQ3完备正交系（带权函数）在确保基于傅里叶的展开收敛性中起什么作用？
- RQ4该方法能否应用于特定系统（如贝塞尔函数）？其对应的随机积分表示为何？
- RQ5不同形式下，傅里叶系数 $C_{j_2j_1}$ 和 $\tilde{C}_{j_2j_1}$ 之间有何关系？
主要发现
- 本文证明了针对鞅的任意重数迭代伊藤随机积分，其广义多重傅里叶级数展开在均方意义下收敛。
- 建立了对 $L_2([t,T]^k)$ 中任意完备正交系（带权函数 $r(t_1)\cdots r(t_k) \geq 0$）的展开方法推广，扩展了该方法的适用范围。
- 对于贝塞尔函数的情形，展开式将双重随机积分 $\int_0^T \int_0^s dM_\tau^{(1)} dM_s^{(2)}$ 表示为涉及 $\tilde{C}_{j_2j_1} \zeta_{j_1}^{(1)} \zeta_{j_2}^{(2)}$ 的和的极限形式，其中 $\zeta_j^{(i)}$ 为独立的标准正态变量。
- 当通过不同形式推导时，傅里叶系数 $C_{j_2j_1}$ 和 $\tilde{C}_{j_2j_1}$ 被证明相等，确认了方法的一致性。
- 该方法通过仅使用标准正态随机变量，实现了对复杂迭代随机积分的有效数值逼近，克服了传统方法的局限性。
- 该框架被扩展至关于鞅泊松测度的积分，扩大了其在点过程和跳跃扩散模型中的应用范围。
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