[论文解读] Finsler surfaces with prescribed geodesics

Juan-Carlos Álvarez-Paiva, Gautier Berck|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2010

Advanced Differential Geometry Research参考文献 18被引用 14

一句话总结

本文通过基于Hopf纤维丛和Grassmannian几何的几何构造，构建了2-球面上所有测地线为圆的Finsler度量。证明了任一二维流形上的可逆路径几何在局部上均可作为Finsler度量的测地线系统，并通过S²上奇的、次临界函数对所有此类圆周路径几何进行了分类。

ABSTRACT

We construct all Finsler metrics on the two-sphere for which geodesics are circles and show that any (reversible) path geometry on a two-dimensional manifold is locally the system of geodesics of a Finsler metric.

研究动机与目标

• 对2-球面上所有测地线为圆的Finsler度量进行分类。
• 通过Crofton型积分公式，从超曲面族构造Finsler度量的一般方法。
• 证明任一二维流形上的可逆路径几何在局部上均为Finsler度量的测地线系统。
• 通过R⁴中2-平面的Grassmannian的参数化，表征S²上所有圆周路径几何。
• 澄清在圆周测地线背景下黎曼度量与Finsler度量之间的区别，表明在黎曼情形下仅常曲率度量会出现。

提出的方法

• 利用Hopf纤维丛π: S³ → S²，将R⁴中的定向2-平面提升为S²上的圆周。
• 通过G̃₂(R⁴) ≅ S²₊ × S²₋的定向Grassmannian的子流形参数化圆周路径几何。
• 通过Crofton型积分公式在S²上构造Finsler度量：∫F(ċ(t)) dt = ∫Γ # (γ ∩ c) dμ(γ)，其中μ为参数空间Γ上的正测度。
• 通过将函数κ: S²₊ → R提升为fₖ: S²₊ → S²₋的特定公式（涉及κ及其范数），表征S²上可接受的圆周族。
• 对F²施加二次凸性条件，以确保Finsler度量定义良好，且测地线与给定曲线一致。
• 利用二维情形下Crofton公式可表征Finsler度量的测地线，从而将积分几何与Finsler几何联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些S²上的Finsler度量具有所有测地线为圆？
• RQ2 任一二维流形上的可逆路径几何是否均可实现为Finsler度量的测地线系统？
• RQ3 S²上所有圆周路径几何的完整分类是什么？
• RQ4 通过Crofton公式构造Finsler度量的方法与通过S³*上不变测度构造的方法有何关联？
• RQ5 将给定路径几何实现为黎曼度量的测地线系统的障碍是什么？

主要发现

• 所有S²上测地线为圆的Finsler度量，均通过G̃₂(R⁴)的Grassmannian参数化构造，其中使用了满足||∇κ|| < 1 + κ²的奇C¹函数κ: S²₊ → R。
• 该构造产生一个依赖于两个变量函数的单参数族Finsler度量，表明一般解比不变构造更丰富。
• 仅常曲率度量具有圆周测地线，这由Khovanskii的结果及Beltrami定理所证实。
• 所构造的Finsler度量不一定是黎曼度量，因为其指数映射在原点处C²正则性不成立。
• 非可逆路径几何（如固定半径的圆周）仅能产生局部定义的Finsler度量，这是Hopf-Rinow定理的一个版本所致。
• Crofton公式构造无法产生非可逆Finsler度量，因此需采用磁性拉格朗日量作为更广泛的框架。