[論文レビュー] Fixed points for actions of Aut(Fn) on CAT(0) spaces

Olga Varghese|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、完全なCAT(0)空間へのAut(Fn)およびSAut(Fn)の作用に関して、次元に依存する鋭い不動点定理を確立する。有限部分群を含む新しい生成集合と、CAT(0)空間へのヘリの定理の拡張を用いて、n ≥ 4のとき、d < 2⌊n/4⌋ − 1ならばAut(Fn)は任意のd次元CAT(0)空間に不動点をもつことが証明され、同様にn ≥ 5のとき、d < 2⌊(n−1)/4⌋ − 1ならばSAut(Fn)に対しても同様の結果が得られ、表現論に強い影響を及ぼす。

ABSTRACT

For n greater or equal 4 we discuss questions concerning global fixed points for isometric actions of Aut(Fn), the automorphism group of a free group of rank n, on complete CAT(0) spaces. We prove that whenever Aut(Fn) acts by isometries on complete d-dimensional CAT(0) space with d is less than 2 times the integer function of n over 4 and minus 1, then it must fix a point. This property has implications for irreducible representations of Aut(Fn), which are also presented here. For SAut(Fn), the unique subgroup of index two in Aut(Fn), we obtain similar results.

研究の動機と目的

• 完全なCAT(0)空間上でのAut(Fn)およびSAut(Fn)の全射不動点性質を満たす最大次元dを特定すること。
• 既知の単体的木（FA）における不動点結果を、より高次元のCAT(0)空間（FAd）へ拡張すること。
• 生成集合の組合せ論と幾何的群論的手法を用いて、不動点性質の鋭い次元境界を確立すること。
• Aut(Fn)およびSAut(Fn)の表現論への帰結を導出すること、特に既約表現の共役類の有限性に焦点を当てる。

提案手法

• 任意の2つの生成元が有限部分群を生成するような、Aut(Fn)およびSAut(Fn)の有限生成集合の構成。
• d次元CAT(0)空間における閉凸部分集合の有限族に対するヘリの定理の拡張の適用。
• ファルブの不動点基準の利用：生成集合の任意の(d+1)元の部分集合が不動点を持つならば、群全体が全射不動点を持つ。
• ブリッドソンの定理（可換な共役部分群）を用いて、不動点問題を有限部分群に還元。
• 対称空間およびアフィンビルディングへのAut(Fn)およびSAut(Fn)の作用の分析により、鋭い次元境界を確立。
• 上記の手法と行列式準同型および埋め込み技術を組み合わせ、問題を低ランク群に還元。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの次元dに対して、Aut(Fn)は完全なd次元CAT(0)空間に全射不動点を持つのか？
• RQ2 Aut(Fn)が任意の完全なCAT(0)空間の次元dにおいて全射不動点を持つような、dの鋭い上界は何か？
• RQ3 Aut(Fn)の不動点性質はGLn(Z)と比べてどう異なるのか、そしてその表現論的意味は何か？
• RQ4 特殊自己同型群SAut(Fn)に対する類似の不動点境界は何か？また、Aut(Fn)とはどのように異なるか？
• RQ5 不動点性質は、GLd(K)またはSLd(K)への既約表現の共役類の数にどのように制約を加えるか？

主な発見

• n ≥ 4のとき、d < 2⌊n/4⌋ − 1ならば、任意の完全なd次元CAT(0)空間においてAut(Fn)は全射不動点を持つ。
• n ≥ 5のとき、d < 2⌊(n−1)/4⌋ − 1ならば、任意の完全なd次元CAT(0)空間においてSAut(Fn)は全射不動点を持つ。
• 不動点性質により、Kが代数的に閉体であるとき、d ≤ 2⌊n/4⌋ − 1ならば、Aut(Fn) → GLd(K)の既約表現の共役類は有限個に限られる。
• 同様に、SAut(Fn)に対し、d ≤ 2⌊(n−1)/4⌋ − 1ならば、SAut(Fn) → SLd(K)の既約表現の共役類も有限個に限られる。
• 2⌊n/4⌋ − 1という境界は鋭いものであり、nが十分に大きいとき、この境界を超える次元½n(n+1)の対称空間Pn(R)において、Aut(Fn)は全射不動点を持たない。
• 結果はGLn(Z)およびSLn(Z)へも拡張され、同じ次元境界のもとでFAd性質を有することが示された。