[论文解读] Geometric Quantization and No Go Theorems

Viktor L. Ginzburg, Richard Montgomery|ArXiv.org|Mar 18, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 13

一句话总结

本文在几何量子化中建立了一个'不可能'定理，证明对于一类广泛的凯勒流形（包括球面等辛齐性空间）而言，由于无法在量子化丛上定义一个投影平坦联络，因此不存在规范的量子化。核心结果是：紧致辛流形上光滑函数的李代数不存在本质上非平凡的有限维表示，这阻碍了普遍量子化程序的实现。

ABSTRACT

A geometric quantization of a Kähler manifold, viewed as a symplectic manifold, depends on the complex structure compatible with the symplectic form. The quantizations form a vector bundle over the space of such complex structures. Having a canonical quantization would amount to finding a natural (projectively) flat connection on this vector bundle. We prove that for a broad class of manifolds, including symplectic homogeneous spaces (e.g., the sphere), such connection does not exist. This is a consequence of a ``no go'' theorem claiming that the entire Lie algebra of smooth functions on a compact symplectic manifold cannot be quantized, i.e., it has no essentially nontrivial finite-dimensional representations.

研究动机与目标

• 研究将凯勒流形视为辛流形时，是否存在一种规范的几何量子化程序。
• 确定在与给定辛形式相容的复结构空间上，是否可以为量子化丛定义一个自然的、投影平坦的联络。
• 证明无法通过有限维表示来对紧致辛流形上光滑函数的李代数进行量子化。
• 将量子力学中的'不可能'定理推广到凯勒流形上几何量子化的更广泛框架中。
• 阐明在辛几何与凯勒几何中，普遍量子化程序受阻的原因。

提出的方法

• 作者分析了在凯勒流形上固定辛形式时，与该辛形式相容的复结构空间上的几何量子化丛。
• 他们将规范量子化的存在性归约为该丛上投影平坦联络的存在性。
• 利用表示论技术，他们证明此类联络的存在将意味着光滑函数李代数存在有限维表示。
• 他们证明了在紧致辛流形上，光滑函数的李代数不存在本质上非平凡的有限维表示。
• 该证明依赖于紧致辛流形及其函数代数的上同调与结构性质。
• 该论证适用于辛齐性空间，包括球面及其他对称空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过在量子化丛上的投影平坦联络，为凯勒流形定义一种规范的几何量子化？
• RQ2 是否可以利用有限维表示来表示紧致辛流形上光滑函数的李代数？
• RQ3 几何量子化中普遍量子化程序的障碍是什么？
• RQ4 尽管具有对称结构，辛齐性空间是否仍能实现自然的量子化？
• RQ5 光滑函数代数缺乏有限维表示是否意味着几何量子化中存在根本性限制？

主要发现

• 对于包括球面等辛齐性空间在内的广泛凯勒流形类，规范几何量子化并不存在。
• 障碍源于紧致辛流形上光滑函数的李代数不存在本质上非平凡的有限维表示。
• 此类表示的不存在性意味着在复结构空间上，量子化丛上不可能存在投影平坦联络。
• 该结果构成了几何量子化中的一个'不可能'定理，推广了早期在量子力学中的障碍。
• 该定理普遍适用于所有紧致辛流形，无论其拓扑或对称性如何。
• 该不可能性根植于紧致辛流形上光滑函数代数的代数与上同调结构。