[论文解读] Gross--Schoen Cycles and Dualising Sheaves

Shou-Wu Zhang|ArXiv.org|Dec 1, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文通过算术交点理论与度量图技术，建立了曲面三重积上Gross–Schoen循环的高度与相对对偶化层自交数之间的精确恒等式。该结果在算术几何与霍奇理论之间建立了关键联系，应用于Bogomolov与Gillet–Soulé猜想，并证明了模曲线空间上典范循环的Northcott型性质。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study the modified diagonal cycle in the triple product of a curve over a global field defined by Gross and Schoen. Our main result is an identity between the height of this cycle and the self-intersection of the relative dualising sheaf. We have some applications to the following problems in number theory and algebraic geometry.

研究动机与目标

• 在全局域上的曲线三重积上，建立Gross–Schoen循环的精确算术高度公式。
• 将Gross–Schoen循环的高度与相对对偶化层的自交数联系起来，提供一种新的算术-几何不变量。
• 应用该恒等式证明高度的非平凡下界，支持Gillet–Soulé与Bogomolov猜想。
• 通过Northcott型性质，证明模曲线空间上典范循环（包括Ceresa循环）的非平凡性。
• 利用交点理论方法，证明雅可比簇中类${\mathcal{F}}(X_1)$在Lefschetz算子作用下为本原类。

提出的方法

• 在$X^3$的正规半稳定模型上使用算术交点理论，无条件地定义Gross–Schoen循环的高度。
• 应用度量图与约化复形理论，计算高度配对的局部贡献。
• 利用立方定理分解$X^4$上的线丛，并计算Fourier–Mukai变换${\mathcal{F}}(X)$的拉回。
• 推导一个关键的拉回公式：$f_3^*{\mathcal{F}}(X) = -g\sum_i p_i^*\xi - \sum_{ij} p_{ij*}\delta_\xi + \Delta_\xi$，其中$\delta_\xi = p_1^*\xi + p_2^*\xi - \Delta$。
• 利用投影公式与雅可比簇上的星积结构，将$X^3$上的循环交点关系化为$J$上的交点，从而归约为$s=1$分量。
• 在函数域情形下应用Arakelov–Szpiro定理，证明非等变曲线且具有良好约化时，三重积动机的$L$-级数在阶数$\geq 2$时为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 Gross–Schoen循环的精确算术高度如何用曲线的几何不变量表示？
• RQ2 Gross–Schoen循环的高度与相对对偶化层自交数之间有何关系？
• RQ3 能否通过高度理论与模空间性质，确立典范循环（如Ceresa循环）的非平凡性？
• RQ4 雅可比簇中类${\mathcal{F}}(X_1)$在Lefschetz算子作用下是否满足本原性？
• RQ5 三重积$L$-级数在Beilinson–Bloch猜想与循环非零性背景下起何作用？

主要发现

• Gross–Schoen循环$\Delta_\xi$的高度满足$\langle \Delta_\xi, \Delta_\xi \rangle = \langle {\mathcal{F}}(X_1), f_{3*}\Delta_\xi \rangle$，将循环高度与雅可比簇上的交点理论联系起来。
• 相对对偶化层的自交数等于Gross–Schoen循环的高度，确立了算术几何中的基本恒等式。
• 类${\mathcal{F}}(X_1)$为本原类：$L \cdot L^{g-3}{\mathcal{F}}(X_1) \neq 0$，通过证明$f_3^*\theta \cdot \Delta_\xi = 0$而得证。
• 对于具有良好约化且非等变的函数域上的曲线，三重积动机的$L$-级数在阶数$\geq 2$时为零，意味着Gross–Schoen循环非平凡。
• Ceresa循环$X - [-1]_*X$在非同源曲线的函数域上非平凡，因其为$X_s$的奇数次分量之和。
• 循环$\Delta_\xi$的高度表达为$\langle {\mathcal{F}}(X_1), X^{*3} \cdot {\mathcal{F}}(X_1) \rangle$，其中配对由星积的$s=1$分量决定。