[論文レビュー] Groupes de Cremona, connexité et simplicité

Jérémy Blanc|Archive ouverte UNIGE (University of Geneva)|Mar 13, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の次元 $n$ に対して、Cremona 群 $\mathrm{Cr}_n(k)$ が連結であることを確立し、Zariski 位相を備えた群 $\mathrm{Cr}_2(k)$ が単純であることを示している。変形技法と Jonquières 部分群の構造を用いて、代数的族におけるパス・リフトを介して自己同型と双正則写像の線形的連結性を証明し、高次元における Cremona 群の位相的単純性および連結性に関する長年の未解決問題を解決した。

ABSTRACT

The Cremona group is connected in any dimension and, endowed with its topology, it is simple in dimension 2. ----- Le groupe de Cremona est connexe en toute dimension et, muni de sa topologie, il est simple en dimension 2.

研究の動機と目的

• J.-P. Serre が提起した、$n \geq 3$ の場合の Cremona 群 $\mathrm{Cr}_n(k)$ の連結性に関する問題を解決すること。
• D. Mumford が1974年に提起した、Zariski 位相を備えた $\mathrm{Cr}_2(k)$ が単純であるかどうかという問いに答えること。
• 代数的族および $\mathrm{Bir}(X)$ への準同型を用いて、Cremona 群のための位相的枠組みを確立すること。
• 恒等写像に接続可能な元のなす部分群が、$\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^n_k)$ および Jonquières 部分群を含む正規部分群であることを示すこと。
• 任意の双正則写像が、$k$-代数的多様体からの準同型を介して恒等写像に接続可能であることを示し、群全体の完全な連結性を示すこと。

提案手法

• $k$-代数的多様体 $A \to \mathrm{Bir}(X)$ を通じて引き戻された閉集合によって、$\mathrm{Bir}(X)$ 上にZariski 位相を定義すること。
• 有理的ファイブレーションを保存する Jonquières 部分群 $\mathit{J}_n \subset \mathrm{Cr}_n(k)$ を用いて、パスに連結な族を構成すること。
• 変形補題（補題3.3）を適用して、双正則写像が $\mathit{J}_n^0$ 内の正規導出に接続可能であることを示し、パスの構成を可能にする。
• 任意の元 $g \in \mathrm{Cr}_n(k)$ に対して、対合 $\sigma$ を用いた共役により、恒等写像へのパスを構成する。このとき、ある点を固定する写像のケースに帰着する。
• 次元に関する帰納法を用いる：$\mathrm{Cr}_{n-1}(k)$ が連結であると仮定し、$\mathit{J}_n$（$\mathit{J}_n^0 \simeq \mathrm{PGL}(2,K)$ と $\mathrm{Cr}_{n-1}(k)$ によって生成される）が恒等写像の連結成分に含まれることを示す。
• $\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^n_k) \subset \mathcal{U}_0$ を行列成分の線形変形により示し、$\mathit{J}_n^0 \subset \mathcal{U}_0$ を示す。これにより、群全体が生成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Zariski 位相を備えた $\mathrm{Cr}_n(k)$ は、すべての $n \geq 1$ に対して連結か？
• RQ2 Zariski 位相を備えた群 $\mathrm{Cr}_2(k)$ は単純か？
• RQ3 $\mathbb{P}^n_k$ の双正則自己同型写像は、$k$-代数的多様体からの準同型を介して恒等写像に接続可能か？
• RQ4 恒等写像に接続可能な元のなす部分群は、正規部分群であり、$\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^n_k)$ および Jonquières 部分群を含むか？
• RQ5 $\mathit{J}_n^1 \simeq \mathrm{PSL}(2,K)$ の構造を用いて、2次元における単純性および連結性を証明できるか？

主な発見

• $\mathrm{Cr}_n(k)$ はすべての $n$ に対して連結である。これは、2008年に Serre が提起した問題を解決するものである。
• $\mathrm{Cr}_2(k)$ はZariski 位相を備えた場合に単純である。これは、1974年に Mumford が提起した問いに肯定的に答えている。
• $\mathcal{U}_0$ は、恒等写像に接続可能な元のなす部分群であり、$\mathrm{Cr}_n(k)$ の正規部分群であり、$\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^n_k)$ および Jonquières 部分群 $\mathit{J}_n^0$ を含む。
• $\mathrm{Cr}_n(k)$ のすべての元が $\mathcal{U}_0$ に属する。これは、群全体が連結であることを示している。
• 補題3.3における正規導出の構成により、任意の双正則写像を Jonquières 型写像に還元でき、パス・リフトおよび連結性の証明が可能になる。
• $\mathit{J}_n^1 \simeq \mathrm{PSL}(2,K)$ の単純性は、$\mathrm{Cr}_2(k)$ の単純性を示すための主要な要素である。