[论文解读] Groupoid actions on $C^*$-correspondences

Valentin Deaconu|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文将 C*-对应关系上的群作用推广至群丛作用，证明在特定条件下，Cuntz-Pimsner 代数关于群丛的交叉积同构于交叉积对应关系的 Cuntz-Pimsner 代数。此外，还证明了群丛作用下的固定点代数同构于 Doplicher-Roberts 代数，并将这些结果应用于有向图，证明当群丛具有紧致稳定子时，图 C*-代数的交叉积在稳定同构意义下同构于另一个图 C*-代数。

ABSTRACT

Let the groupoid $G$ with unit space $G^0$ act via a representation $ρ$ on a $C^*$-correspondence ${\mathcal H}$ over the $C_0(G^0)$-algebra $A$. By the universal property, $G$ acts on the Cuntz-Pimsner algebra ${\mathcal O}_{\mathcal H}$ which becomes a $C_0(G^0)$-algebra. The action of $G$ commutes with the gauge action on ${\mathcal O}_{\mathcal H}$, therefore $G$ acts also on the core algebra ${\mathcal O}_{\mathcal H}^{\mathbb T}$. We study the crossed product ${\mathcal O}_{\mathcal H} times G$ and the fixed point algebra ${\mathcal O}_{\mathcal H}^G$ and obtain similar results as in \cite{D}, where $G$ was a group. Under certain conditions, we prove that ${\mathcal O}_{\mathcal H} times G\cong {\mathcal O}_{\mathcal H times G}$, where $\mathcal H times G$ is the crossed product $C^*$-correspondence and that ${\mathcal O}_{\mathcal H}^G\cong{\mathcal O}_ρ$, where ${\mathcal O}_ρ$ is the Doplicher-Roberts algebra defined using intertwiners. The motivation of this paper comes from groupoid actions on graphs. Suppose $G$ with compact isotropy acts on a discrete locally finite graph $E$ with no sources. Since $C^*(G)$ is strongly Morita equivalent to a commutative $C^*$-algebra, we prove that the crossed product $C^*(E) times G$ is stably isomorphic to a graph algebra. We illustrate with some examples.

研究动机与目标

• 将关于 C*-对应关系上群作用的结果推广至群丛作用的设定。
• 研究群丛作用于 C*-对应关系时，交叉积 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}} \rtimes G$ 与固定点代数 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}^{G}$ 的结构。
• 在适当条件下，建立 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}} \rtimes G$ 与 $\mathcal{O}_{\mathcal{H} \rtimes G}$ 之间，以及 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}^{G}$ 与 Doplicher-Roberts 代数 $\mathcal{O}_{\rho}$ 之间的同构关系。
• 将结果应用于群丛作用于有向图的情形，证明当群丛具有紧致稳定子时，图 C*-代数的交叉积在稳定同构意义下同构于另一个图 C*-代数。

提出的方法

• 通过表示 $\rho: G \to \mathcal{L}_\mathbb{C}(\mathcal{H})$ 定义群丛 $G$ 在 $C_0(G^0)$ 上的 C*-对应关系 $\mathcal{H}$ 上的作用。
• 利用泛性质将群丛作用延拓至 Cuntz-Pimsner 代数 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}$，使其成为 $C_0(G^0)$-代数。
• 利用群丛作用与 $\mathbb{T}$ 的规范作用的交换性，在核心 AF-代数 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}^\mathbb{T}$ 上诱导出一个作用。
• 假设 $J_{\mathcal{H}} \rtimes G \cong J_{\mathcal{H} \rtimes G}$，以建立 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}} \rtimes G \cong \mathcal{O}_{\mathcal{H} \rtimes G}$，从而推广群作用下的结果。
• 通过 $\rho$ 的张量幂的互化子构造 Doplicher-Roberts 代数 $\mathcal{O}_{\rho}$，并在适当条件下证明 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}^G \cong \mathcal{O}_{\rho}$。
• 将该框架应用于离散、局部有限、无源的图 $E$ 上的群丛作用，利用交叉积对应关系的分解，证明 $C^*(E) \rtimes G$ 在稳定同构意义下同构于一个图 C*-代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Cuntz-Pimsner 代数的交叉积 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}} \rtimes G$ 同构于交叉积对应关系 $\mathcal{H} \rtimes G$ 的 Cuntz-Pimsner 代数？
• RQ2 在何种条件下，固定点代数 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}^G$ 同构于由 $\rho^n$ 的互化子构造的 Doplicher-Roberts 代数 $\mathcal{O}_{\rho}$？
• RQ3 具有紧致稳定子的群丛作用于有向图 $E$ 时，如何影响交叉积 $C^*(E) \rtimes G$ 的结构？
• RQ4 在群丛具有紧致稳定子的条件下，能否证明交叉积 $C^*(E) \rtimes G$ 在稳定同构意义下同构于一个图 C*-代数？

主要发现

• 当 Katsura 理想满足 $J_{\mathcal{H}} \rtimes G \cong J_{\mathcal{H} \rtimes G}$ 时，交叉积 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}} \rtimes G$ 同构于 $\mathcal{O}_{\mathcal{H} \rtimes G}$。
• 固定点代数 $\mathcal{O}_{\mathcal{H}}^G$ 同构于通过 $\rho$ 的张量幂的互化子定义的 Doplicher-Roberts 代数 $\mathcal{O}_{\rho}$。
• 对于具有紧致稳定子的群丛 $G$ 作用于离散、局部有限、无源图 $E$ 的情形，交叉积 $C^*(E) \rtimes G$ 在稳定同构意义下同构于一个图 C*-代数。
• 核心 AF-代数 $C^*(E)^\mathbb{T}$ 在群丛作用下保持不变，且 $C^*(E)^\mathbb{T} \rtimes G \cong (C^*(E) \rtimes G)^\mathbb{T}$ 是一个 AF-代数。
• $C^*$-对应关系 $\mathcal{H}_E \rtimes G$ 在 $C_0(E^0) \rtimes G$ 上分解，而 $C_0(E^0) \rtimes G$ 强 Morita 等价于矩阵代数的直和，从而可为交叉积构造图模型。
• 所得图代数的顶点数等于 $C_0(E^0) \rtimes G$ 的谱的基数，边数对应于最小的 $M_{n(i)}$–$M_{n(j)}$-对应关系的分解。