[论文解读] Hierarchically hyperbolic groups and uniform exponential growth

Carolyn Abbott, Thomas Ng+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2019

Geometric and Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

本文在温和的几何条件下，为几乎所有无扭的分层双曲群建立了统一的指数增长，证明此类群要么具有统一的指数增长，要么是几乎阿贝尔的。关键结果将统一指数增长推广至具有因子系统的高维CAT(0)立方复形，解决了以往证明中依赖于低维性或孤立平坦性的漏洞。

ABSTRACT

We give several sufficient conditions for uniform exponential growth in the setting of virtually torsion-free hierarchically hyperbolic groups. For example, any hierarchically hyperbolic group that is also acylindrically hyperbolic has uniform exponential growth. In addition, we provide a quasi-isometric characterization of hierarchically hyperbolic groups without uniform exponential growth. To achieve this, we gain new insights on the structure of certain classes of hierarchically hyperbolic groups. Our methods give a new unified proof of uniform exponential growth for several examples of groups with notions of non-positive curvature. In particular, we obtain the first proof of uniform exponential growth for certain groups that act geometrically on CAT(0) cubical spaces of dimension 3 or more. Under additional hypotheses, we show that a quantitative Tits alternative holds for hierarchically hyperbolic groups.

研究动机与目标

• 建立分层双曲群中统一指数增长的充分条件。
• 将统一指数增长结果推广至高维CAT(0)立方复形，克服以往依赖低维性或孤立平坦性的证明局限。
• 为不具有统一指数增长的分层双曲群提供拟等距刻画。
• 使用单一框架统一现有关于双曲群、映射类群和立方群的统一指数增长证明。
• 在附加假设下证明分层双曲群的定量 Tits 选择定理。

提出的方法

• 作者利用分层双曲空间（HHS）的结构，通过索引集中各域关联的双曲空间上的投影。
• 通过接触图及其上群元素的作用分析立方复形的几何结构。
• 证明依赖于CAT(0)立方复形上因子系统的存在，该系统确保群为分层双曲群，并实现对分层结构的控制。
• 关键论证涉及：若某些投影无界且非拟凸，则群必具有统一指数增长。
• 作者应用双重错位引理，当假设接触图为拟直线时导出矛盾，从而排除某些结构配置。
• 他们使用CAT(0)立方复形的本质核心分解，将问题约化至不可约的非欧几里得因子，从而可应用增长判别准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，分层双曲群表现出统一的指数增长？
• RQ2 能否在不假设孤立平坦性的前提下，为三维或更高维的CAT(0)立方复形建立统一的指数增长？
• RQ3 不具有统一指数增长的分层双曲群的拟等距刻画是什么？
• RQ4 如何利用CAT(0)立方复形上因子系统的结构来证明增长结果？
• RQ5 在适当假设下，分层双曲群是否具有定量 Tits 选择定理？

主要发现

• 任何同时为非平权双曲的分层双曲群均具有统一的指数增长。
• 在局部有限、有限维的CAT(0)立方复形上自由且共(compact)作用，且具有因子系统的群，除非为几乎阿贝尔群，否则具有统一的指数增长。
• 不可约且非欧几里得的CAT(0)立方复形的接触图为无界的，且不是拟直线，若群本质且共(compact)作用。
• 若接触图为拟直线，则立方复形本身亦为拟直线，这与因子的不可约性和非欧几里得性矛盾。
• 该证明建立了一个新统一框架，可恢复并扩展此前关于线性群、双曲群和映射类群的统一指数增长结果。
• 附录中，作者使用分层结构，为Out(F_n)的线性增长子群及二维立方群提供了统一指数增长的新证明。