[论文解读] Involutions of Higgs bundle moduli spaces

Oscar Garcı́a-Prada, S. Ramanan|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Advanced Algebra and Geometry被引用 2

一句话总结

本文研究了紧致黎曼曲面上 $G$-Higgs丛模空间的有限阶自同构，通过结合 $H^1(X,Z) \times \mathrm{Out}(G)$ 的作用与将 Higgs 场乘以单位根的方式构造。它将不动点子簇识别为：对于 +1 特征值，为超凯勒子流形；对于 -1 特征值，为拉格朗日子流形，分别对应于 $G$ 的约化子群或实形式的表示，且对 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ 和 $\mathrm{Spin}(8,\mathbb{C})$ 提供了通过外尔对称性（triality）的显式描述。

ABSTRACT

We consider the moduli space $\mathcal{M}(G)$ of $G$-Higgs bundles over a compact Riemann surface $X$, where $G$ is a complex semisimple Lie group. This is a hyperkahler manifold homeomorphic to the moduli space $\mathcal{R}(G)$ of representations of the fundamental group of $X$ in $G$. In this paper we study finite order automorphisms of $\mathcal{M}(G)$ obtained by combining the action of an element of order $n$ in $H^1(X,Z) times \mbox{Out}(G)$, where $Z$ is the centre of $G$ and $\mbox{Out}(G)$ is the group of outer automorphisms of $G$, with the multiplication of the Higgs field by an $n$th-root of unity, and describe the subvarieties of fixed points. We give special attention to the case of involutions, defined by the action of an element of order $2$ in $H^1(X,Z) times\mbox{Out}(G)$ combined with the multiplication of the Higgs field by $\pm 1$. In this situation, the subvarieties of fixed points are hyperkahler submanifolds of $\mathcal{M}(G)$ in the (+1)-case, corresponding to the moduli space of representations of the fundamental group in certain reductive complex subgroups of $G$ defined by holomorphic involutions of $G$; while in the (-1)-case they are Lagrangian subvarieties corresponding to the moduli space of representations of the fundamental group of $X$ in real forms of $G$ and certain extensions of these. We illustrate the general theory with the description of involutions for $G=\mbox{SL}(n,\mathbb{C})$ and involutions and order three automorphism defined by triality for $G=\mbox{Spin}(8,\mathbb{C})$.

研究动机与目标

• 理解紧致黎曼曲面 $X$ 上 $G$-Higgs 丛模空间 $\mathcal{M}(G)$ 上有限阶自同构的结构。
• 分析由外自同构与 Higgs 场乘以单位根相结合所产生的不动点子簇。
• 根据特征值（+1 或 -1）将这些不动点子簇分类为超凯勒子流形或拉格朗日子流形。
• 为 $G = \mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ 和 $G = \mathrm{Spin}(8,\mathbb{C})$ 提供显式描述，利用外尔对称性（triality）处理三阶自同构的情形。

提出的方法

• 利用 $H^1(X,Z) \times \mathrm{Out}(G)$ 中阶为 $n$ 的元素构造 $\mathcal{M}(G)$ 的自同构，其中 $Z$ 是 $G$ 的中心。
• 通过将 Higgs 场乘以 $n$ 次单位根来应用该自同构。
• 在 $\mathcal{M}(G)$ 的超凯勒结构背景下分析这些自同构的不动点子簇。
• 将 +1 特征值的不动点子簇识别为对应于由 $G$ 的全纯对合所定义的约化子群中表示的超凯勒子流形。
• 将 -1 特征值的不动点子簇识别为对应于 $G$ 的实形式及其扩展中表示的拉格朗日子流形。
• 通过 $G = \mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$ 和 $G = \mathrm{Spin}(8,\mathbb{C})$ 的显式计算说明一般框架，包括外尔对称性在三阶自同构情形中的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 由 $H^1(X,Z) \times \mathrm{Out}(G)$ 和 Higgs 场乘以单位根所诱导的 $\mathcal{M}(G)$ 的有限阶自同构所产生的不动点子簇具有何种结构？
• RQ2 在 +1 与 -1 特征值情况下，不动点子簇在几何与表示论性质上如何不同？
• RQ3 在 +1 特征值情况下，哪些 $G$ 的约化子群是表示模空间的像？
• RQ4 在 -1 特征值情况下，哪些 $G$ 的实形式及其扩展对应于拉格朗日子流形的不动点子簇？
• RQ5 外尔对称性在 $\mathcal{M}(\mathrm{Spin}(8,\mathbb{C}))$ 的自同构结构中如何体现？

主要发现

• +1 特征值自同构的不动点子簇是 $\mathcal{M}(G)$ 的超凯勒子流形，对应于由 $G$ 的全纯对合所定义的约化子群中 $\pi_1(X)$ 表示的模空间。
• -1 特征值自同构的不动点子簇是 $\mathcal{M}(G)$ 的拉格朗日子流形，对应于 $G$ 的实形式及其扩展中 $\pi_1(X)$ 表示的模空间。
• 对于 $G = \mathrm{SL}(n,\mathbb{C})$，自同构被显式描述，其不动点子簇源于由外自同构定义的对称子群及 Higgs 场符号反转。
• 对于 $G = \mathrm{Spin}(8,\mathbb{C})$，三阶自同构通过外尔对称性构造，导致模空间上非平凡作用，其不动点子簇反映出外尔对称性。
• $\mathcal{M}(G)$ 的超凯勒结构在 +1 特征值情况下被保持，而 -1 特征值情况下由于表示空间的实结构，产生拉格朗日子流形。
• 该一般构造为将模空间的自同构与 $G$ 的子群结构及实形式联系起来提供了统一框架，并实现了几何与拓扑上的显式分类。